1、第三节函数的奇偶性、周期性与对称性考纲传真(教师用书独具)1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性(对应学生用书第13页)基础知识填充1函数的奇偶性(1)奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件2函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存
2、在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期3函数的对称性常见的结论(1)函数yf(x)关于x对称f(ax)f(bx)f(x)f(bax)特殊：函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)；函数yf(x)关于x0对称f(x)f(x)(即为偶函数)(2)函数yf(x)关于点(a，b)对称f(ax)f(ax)2bf(2ax)f(x)2b.特殊：函数yf(x)关于点(a,0)对称f(ax
3、)f(ax)0f(2ax)f(x)0；函数yf(x)关于(0,0)对称f(x)f(x)0(即为奇函数)(3)yf(xa)是偶函数函数yf(x)关于直线xa对称；yf(xa)是奇函数函数yf(x)关于点(a,0)对称知识拓展1函数奇偶性常用结论(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(4)yf(xa)是奇函数，则f(xa)f(xa)；yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa)2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f
4、(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称()(5)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()答案(1)(2)(3)(4)(5)2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的
5、偶函数，那么ab的值是()ABC DB依题意b0，且2a(a1)，b0且a，则ab.3(教材改编)下列函数为偶函数的是()Af(x)x1 Bf(x)x2xCf(x)2x2x Df(x)2x2xDD中，f(x)2x2xf(x)，f(x)为偶函数4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为()A1 B0C1 D2Bf(x)为定义在R上的奇函数，f(0)0，又f(x4)f(x)，f(8)f(0)0.5(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.12法一：令x0，则x0.f(x)2x3x2.函数f(x)是定义在R
6、上的奇函数，f(x)f(x)f(x)2x3x2(x0)f(2)2232212.法二：f(2)f(2)2(2)3(2)212.(对应学生用书第14页)函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)ln(x)；(3)f(x)(x1)；(4)f(x)解(1)由得x1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)f(x)的定义域为R，f(x)(lnx)lnln(x)f(x)，f(x)为奇函数(3)由0可得函数的定义域为(1,1函数定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数(4)易知函数的定义域为(，0)(0，)
7、，关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数规律方法判断函数奇偶性的三种常用方法(1)定义法(2)图象法 (3)性质法在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇跟踪训练(1)(2018深圳二调)下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递增的是()Aycos xByCy2|x| Dy|lg x|(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇
8、函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数(1)C(2)C(1)由于对应函数是偶函数，可以排除选项B，D；对应函数在(0,1)上单调递增，可以排除选项A；y2|x|是偶函数，又在(0,1)上单调递增，选项C正确，故选C(2)A：令h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，A错B：令h(x)|f(x)|g(x)，则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，B错C：令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇
9、函数，C正确D：令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函数，D错函数的周期性(1)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则ff(2)_. 【导学号：97190031】(2)已知定义在R上的函数满足f(x2)，x(0,2时，f(x)2x1.则f(1)f(2)f(3)f(2 019)的值为_(1)2(2)1 347(1)f(x)是周期为2的奇函数，fff42，f(2)f(0)0，ff(2)202.(2)f(x2)，f(x4)f(x)，函数yf(x)的周期T4.又x(0,2时，f(x)
10、2x1，f(1)1，f(2)3，f(3)1，f(4).f(1)f(2)f(3)f(2 019)504f(1)f(2)f(3)f(4)f(50441)f(50442)f(50443)5041311 347.规律方法(1)判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期.跟踪训练已知函数f(x)是周期为2的奇函数，当x(0,1时，f(x)lg(x1)，则flg 18_.1由函数f
11、(x)是周期为2的奇函数，得fffflglg，故flg 18lglg 18lg 101.函数性质的综合应用角度1单调性与奇偶性结合(2017全国卷)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A2,2 B1,1C0,4 D1,3Df(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3.故选D角度2奇偶性与周期性结合(2017山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.6f(
12、x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.角度3单调性、奇偶性与周期性结合(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)(2)已知定义在实数上的偶函数f(x)满足：f(x4)f(x)f(2)，当x0,2时，yf(x)递减，下列四个命题中正确命题的序号是_f(2)
13、0；x4是yf(x)图象的一条对称轴；yf(x)在8,10单增；f(x)是周期函数；若方程f(x)m在6，2上有两根x1，x2，则x1x28.(1)D(2)(1)因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)(2)令x2得f(24)f
14、(2)f(2)，解得f(2)0，故f(x4)f(x)，所以f(x)的周期为4，又f(x)为偶函数，y轴是f(x)的对称轴，故x4是yf(x)的一条对称轴，由函数的对称性和周期可判断yf(x)在8,10上单调递增，因6，2为f(x)的一个周期，x4为f(x)在6，2上的对称轴，故x1x28，因此正确，错误规律方法函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单
15、调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.跟踪训练(1)(2017天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数若af，bf(log2 4.1)，cf(20.8)，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCcba Dcalog24.1log24220.8，f(log25)f(log24.1)f(20.8)，abc.故选C(2)由题意得f(x4)f(2(x2)f(x)f(x)，f(x8)f(x4)f(x)，函数f(x)以8为周期，f(2 017)f(1)1，故选B(3)函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(2x)f(2x)，f(3)f(1)3，又yf(x)是偶函数，f(1)f(1)3.