1、8.1.3向量数量积的坐标运算(教师独具内容)课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及推得模、角度、垂直关系的坐标表示教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题.【知识导学】知识点一向量内积的坐标运算已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和知识点二用坐标表示两向量垂直设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.知识点三向量的长度已知a(x1，y1)，则|a| ，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根知识点四两点间的距离如果A(x1，
2、y1)，B(x2，y2)，则| .知识点五两向量夹角的余弦设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cosa，b .【新知拓展】1关于两个向量垂直的条件已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果ab，则x1x2y1y20；反之，如果x1x2y1y20，则ab.运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系去求参数如果ab，则向量(x1，y1)与(y2，x2)平行这是因为ab，有x1x2y1y20(*)，当x2y20时，(*)式可以表示为，即向量(x1，y1)与向量(y2，x2)平行对任意的实数k，向量k(y2，x2)与向量(x2，y2)垂直2不等式|ab|a|b|的代数形式若a
3、(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，|a|，|b|.由|ab|a|b|得|x1x2y1y2|，当且仅当ab，即x1y2x2y10时取等号即不等式(x1x2y1y2)2(xy)(xy)成立1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a(1,1)，b(2,2)，则ab0.()(2)若a(4,2)，b(6，m)且ab，则m12.()(3)若ab0(a，b均为非零向量)，则角a，b为锐角()答案(1)(2)(3)2做一做(1)已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为_(2)已知a(1，)，b(2,0)，则|ab|_.(3)设a(2,0)，|b|1，a，b60，则ab
4、_.(4)已知a(3,4)，则与a垂直的单位向量有_，与a共线的单位向量有_答案(1)(2)2(3)1(4)或或题型一 向量的坐标与向量数量积的坐标运算例1已知向量a与b同向，b(1,2)，ab10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(ac)b.解(1)a与b同向，且b(1,2)，ab(，2)(0)又ab10，410，2，a(2,4)(2)ac22(1)40，(ac)b0b0.金版点睛(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充已知a(4，3)，|b|1，且ab5，求向量b的
5、坐标解设b(x，y)，则向量b的坐标为.题型二 利用向量坐标运算解决垂直问题例2在ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD是BC边上的高，求D点坐标解设D点坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(x3，y1)，(6，3)，且，6(x2)3(y1)0.与共线，3(x3)6(y1)0.由联立可得点D(1,1)金版点睛(1)本题利用向量求解时易忽视D在BC上这个条件，从而会感觉条件不够，求点坐标的题在求解过程中需列方程(组)，所以要先设出点D的坐标，再用待定系数法求解(2)此题是几何中的一个问题，也可用直线方程的知识求解(3)垂直向量与平行向量的坐标关系若ab(a(x1，y1)，b(x
6、2，y2)，则向量(x1，y1)与(y2，x2)平行，这是因为ab，有x1x2y1y20，当x2y20时，有k(k为比例系数)对于任意实数k，向量k(y2，x2)与向量(x2，y2)垂直例如，向量(3,4)与向量(4,3)，(8,6)，(12，9)，垂直如图所示，以原点O和点A(5,2)为两个顶点作等腰直角AOB，使B90，求点B的坐标解设点B(x，y)，则(x，y)，(x5，y2)因为B90，所以x(x5)y(y2)0，又|，所以x2y2(x5)2(y2)2，即解得或即点B的坐标为或.题型三 向量的夹角问题例3已知ab(2，8)，ab(8,16)，求a与b的数量积及a与b的夹角的余弦值解由得
7、ab(3,4)(5，12)(3)54(12)63.cosa，b.a与b的夹角的余弦值为.金版点睛利用数量积求两向量夹角的步骤特别提醒：已知两个非零向量的坐标，就可以利用该公式求得两个向量的夹角，因为向量的夹角范围为0，故不存在讨论角的终边所在象限的问题设向量a(2sin，2cos)(0)，b(2，0)，则a与b的夹角为_答案解析设a与b的夹角为，则cossin，0，.题型四 向量的长度、距离问题例4已知向量a，b满足|a|b|1，且|3a2b|3.求|3ab|的值解设a(x1，y1)，b(x2，y2)|a|b|1，xy1，xy1，3a2b3(x1，y1)2(x2，y2)(3x12x2,3y12
8、y2)，|3a2b|3，9x12x1x24x9y12y1y24y9，1312(x1x2y1y2)9.x1x2y1y2.3ab3(x1，y1)(x2，y2)(3x1x2,3y1y2)，|3ab| 2.金版点睛(1)如果我们在上述解题过程中，根据|a|b|1，设a(cos，sin)，则上述运算过程可以简化(2)利用本题的解法可解决下面的一般性问题：若向量a，b满足|a|b|r1，及|1a1b|r2求|2a2b|的值(3)注意区别mn与|m|n|其中mn表示的是向量关系，即(x1，y1)(x2，y2)，而|m|n|表示的是数量关系，即.已知ABC中，A(1,2)，B(3,1)，C(2，3)，试判定A
9、BC的形状，并证明你的结论解由题意有(4，1)，(3，5)，(1，4)，(4，1)(1，4)0，且|，故ABC为等腰直角三角形.题型五 向量数量积的综合应用例5已知点A(0,1)，B(0，1)，C(1,0)，O为坐标原点，动点P满足 2|2，求向量与的夹角的取值范围解设点P(x，y)，则(x，y1)，(x，y1)，(1x，y)x2(y1)(y1)x2y21，|2(1x)2(y)2x2y22x1.2|2，x2y212(x2y22x1)即x2y24x30，即(x2)2y21.动点P的轨迹是以点M(2,0)为圆心且半径为1的圆，如图所示过原点作圆M的切线，切点为E，则ME1，OEM，又OM2，sin
10、MOE，MOE.与x轴同向，由图知，向量与的夹角的最大值为，最小值为0，故这两个向量的夹角的取值范围是.金版点睛(1)用点的坐标表示条件中的向量等式，使得条件变得明朗，易于下一步的转化，得到点P的轨迹是一个圆后，利用数形结合的思想求角的取值范围，是本例求解的基本思路，如果利用cos求角的取值范围，求解过程较为繁琐(2)ab0a，b为钝角或平角；ab0a，b为锐角或零角(3)注意：ab|a|b|cosa，b与abx1x2y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式的差异，可以相互推导若题目给出的是两向量的模与夹角，则利用ab|a|b|cosa，b求解；若已知两向量的坐标，则利用
11、abx1x2y1y2求解设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，.若，则实数的取值范围是()A.1B11C.1D11答案B解析设P(x，y)，则由，得(x1，y)(1,1)，x1y0.又，(x，y)(1,1)(1x，y)(x,1y)整理，得x2y22y0，即x2(y1)21.将整理，得x1y，代入中，得(y1)2.即y1.1y1.结合题意，得1y1，即11.故选B.1若a(2，3)，b(x,2x)，且3ab4，则x等于()A3B.CD3答案C解析3ab(6，9)(x,2x)12x4，x.2已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)四点，则四边形A
12、BCD是()A梯形B矩形C菱形D正方形答案B解析(3，2)，(3，2)，又(4,6)，0，.|，选B.3正三角形ABC的边长为1，设c，a，b，那么abbcca的值是_答案解析解法一：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C，a，b，c(1,0)，ab，同理bcca，abbcca.解法二：abbcca11cos12011cos12011cos1203.4设向量a与b的夹角为，且a(3,3)，2ba(1,1)，则cos_.答案解析a(3,3)，由2ba(1,1)可得b(1,2)，cos.5若ABC中，C90，(k,1)，(2,3)，则k的值是_答案5解析(k,1)，(2,3)，(2k,2)，0，k5.