1、(一)函数与导数中的高考热点问题(对应学生用书第44页)命题解读函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，函数与导数是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有利用导数研究函数的性质函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值
2、；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围(2015全国卷)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1)规律方法1.研究函数的性
3、质，必须在定义域内进行，因此利用导数研究函数的性质，应遵循定义域优先的原则.2.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断f(x)的符号问题上，而f(x)0或f(x)0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题.3.若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题求解.跟踪训练(2018福州质检)已知函数f(x)aln xxax(aR). 【导学号：97190096】(1)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)求g(x)f(x)2x在区间1，e的最小值h(a)解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2xa，因为x
4、3是f(x)的极值点，所以f(3)0，解得a9.所以f(x)，所以当0x或x3时，f(x)0；当x3时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为和(3，)，单调递减区间为.(2)由题知，g(x)f(x)2xaln xxax2x.g(x)2.当1，即a2时，g(x)在1，e上为增函数，h(a)g(1)a1；当1e，即2a2e时，g(x)在上为减函数，在上为增函数，h(a)galnaa；当e，即a2e时，g(x)在1，e上为减函数，h(a)g(e)(1e)ae2e.综上，h(a)利用导数研究函数的零点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应
5、注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围(2017全国卷)已知函数f(x)ae(a2)ex.(1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)2ae(a2)e1(ae1)(2e1)()若a0，则f(x)0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增(2)()若a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点()若a0，由(1)知，当xln a时，f(x)取
6、得最小值，最小值为f(ln a)1ln a.当a1时，由于f(ln a)0，故f(x)只有一个零点；当a(1，)时，由于1ln a0，即f(ln a)0，故f(x)没有零点；当a(0,1)时，1ln a0，即f(ln a)0.又f(2)ae4(a2)e22e20，故f(x)在(，ln a)有一个零点设正整数n0满足n0ln，则f(n0)e(aea2)n0en02n00.由于lnln a，因此f(x)在(ln a，)有一个零点综上，a的取值范围为(0,1)规律方法利用导数研究函数零点的两种常用方法(1)用导数研究函数的单调性，借助零点存在性定理判断；或用导数研究函数的单调性和极值，再用单调性和极
7、值定位函数图象求解零点问题.(2)将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.跟踪训练(2018武汉调研)已知f(x)ln xx32exax，aR，其中e为自然对数的底数(1)若f(x)在xe处的切线的斜率为e，求a；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解(1)f(x)3x4exa，f(e)eae，a.(2)由ln xx32exax0，得x2exa.记F(x)x2ex，则F(x)2(xe)x(e，)，F(x)0，F(x)单调递减x(0，e)，F(x)0，F(x)单调递增，F(x)maxF(e)e，而x0时，F(x)，x时，F(x).故ae.利用导数研究不等式问题(答题模板)导
8、数在不等式中的应用是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题，突出转化思想、函数思想的考查常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题(本小题满分12分)(2017全国卷)设函数f(x)(1x)e.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围规范解答(1)f(x)(12xx)e.令f(x)0得x1或x1.2分当x(，1)时，f(x)0；当x(1，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.4分所以f(x)在(，1)，(1，)单调递减，在(1，1)单调递增.5分(2)f(x)(1x)
9、(1x)e.当a1时，设函数h(x)(1x)e，h(x)xe0(x0)，因此h(x)在0，)单调递减而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.8分当0a1时，设函数g(x)ex1，g(x)e10(x0)，所以g(x)在0，)单调递增，而g(0)0，故ex1.当0x(1x)(1x)，(1x)(1x)ax1x(1axx)，取x0，则x0(0,1)，(1x0)(1x0)ax010，故f(x0)ax01.10分当a0时，取x0，则x0(0,1)，f(x0)(1x0)(1x0)1ax01.11分综上，a的取值范围是1，).12分阅卷者说易错点防范措施函数h(x)与函数g(x)的
10、构造.认真分析不等式的结构特征，通过构造h(x)，利用不等式的性质，证明命题成立，通过构造g(x)，为举反例说明命题不成立创造了条件.规律方法1.求单调区间的一般步骤(1)求定义域.(2)求f(x)，令f(x)0，求出f(x)的增区间；令f(x)0，求出f(x)的减区间.(3)写出结论.2.恒成立问题的三种解法(1)分离参数，化为最值问题求解.(2)构造函数，分类讨论，如f(x)g(x)，即F(x)f(x)g(x)，求F(x)min0.(3)转变主元，选取适当的主元，可使问题简化.跟踪训练设函数f(x)ealn x.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)2
11、aaln. 【导学号：97190097】解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e(x0)当a0时，f(x)0，f(x)没有零点；当a0时，设u(x)e，v(x)，因为u(x)e在(0，)上单调递增，v(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(a)0，假设存在b满足0b且b时，f(b)0时，f(x)存在唯一零点(2)证明：由(1)，可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e0，所以f(x0)2ax0aln2aaln .故当a0时，f(x)2aaln .
