1、课时训练13用样本的数字特征估计总体的数字特征一、众数、中位数、平均数的简单应用1.10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有()A.abcB.bcaC.cabD.cba答案:D解析:由数据可知众数c=17,中位数b=15,平均数a=14.7,故选D.2.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为()A.2,5B.5,5C.5,8D.8,8答案:C解析:由甲组数据中位数为15,可得x=5;
2、而乙组数据的平均数16.8=9+15+(10+y)+18+245,可解得y=8.故选C.3.(2015江苏高考,2)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为.答案:6解析:平均数x=4+6+5+8+7+66=6.4.如图,是根据一样本数据画出的频率分布直方图.根据此图估计该样本数据的众数为,中位数为,平均数为.答案:125.5125.75125.8解析:因为在124.5,126.5)中的数据最多,所以这个样本的众数估计为124.5+126.52=125.5.设中位数为x,则(0.05+0.075)2+0.2(x-124.5)=0.5,解得x=125.75,即中位数估计为125
3、.75.平均数估计为121.50.1+123.50.15+125.50.4+127.50.2+129.50.15=125.8.二、标准差的计算与应用5.在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本恰好是A样本每个数据都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是()A.众数B.平均数C.中位数D.标准差答案:D解析:A样本数据:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.B样本数据84,86,86,88,88,88,90,90,90,90,众数分别为88,90,不相等,A错.平均数86,88不相等,B错.中位
4、数分别为86,88,不相等,C错.A的标准差s=2,B的标准差s=2,因此选D.6.已知样本数据1,2,4,3,5,下列说法不正确的是()A.平均数是3B.中位数是4C.极差是4D.标准差是2答案:B解析:平均数1+2+3+4+55=3,中位数为3,极差为5-1=4,标准差为2,因此B项错误.7.若数据x1,x2,x3,xn的平均数为x,标准差为s,则数据ax1+b,ax2+b,ax3+b,axn+b的平均数为,标准差为.答案:ax+bas8.甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图所示,则平均分数较高的是,成绩较为稳定的是.答案:甲甲解析:x甲=70,x乙=68,s甲=15(2
5、2+12+12+22)=2,s乙=15(52+12+12+32)=655.(建议用时:30分钟)1.(2015陕西高考,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有11070%=77人;高中部女教师有150(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.2.(2015山东潍坊高三模拟)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的m,n的比值mn=()A.1B.13C.29D.38答案:D解析:由茎叶图可知乙
6、的中位数是32+342=33,甲、乙两组数据中位数相同所以m=3.所以甲的平均数为39+33+273=33.又甲、乙两组数据平均数也相同,所以32+34+38+20+n4=33,解得n=8,所以mn=38.3.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为n且支出在20,60)元的样本,其频率分布直方图如图所示,根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为()元.A.45B.3909C.4009D.46答案:C解析:40+100.160.36=4009.4.(2015北京海淀高一模拟)甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩
7、的中位数;甲同学的平均分比乙同学的平均分高;甲同学的平均分比乙同学的平均分低;甲同学成绩的标准差小于乙同学成绩的标准差.上面说法正确的是()A.B.C.D.答案:A解析:中甲的中位数是81,乙的中位数是87.5,因此乙的中位数较大;甲的平均分为72+76+80+82+86+906=81,乙的平均分为69+78+87+88+92+966=85,所以乙的平均分高;中甲的数据比较集中,乙的数据比较分散,因此甲的标准差较小.5.某班有50名学生,某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分,标准差是s,后来发现记录有误,某甲得70分误记为40分,某乙得50分误记为80分,更正后重新计算得标准差为s1
8、,则s与s1之间的大小关系是()A.s=s1B.ss1D.不能确定答案:C解析:更正前后的平均数均为70,更正前的s2=150(x1-70)2+(x2-70)2+(40-70)2+(80-70)2,更正后的s12=150(x1-70)2+(x2-70)2+(70-70)2+(50-70)2.s2s12.ss1.6.(2015广东高考,文12)已知样本数据x1,x2,xn的均值x=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,2xn+1的均值为.答案:11解析:由题意,yi=2xi+1(i=1,2,n),则y=2x+1=25+1=11.7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度,统计了该运动员在6场
9、比赛中的得分,用茎叶图表示如图所示,则该组数据的标准差为.答案:5解析:由茎叶图可知,该篮球运动员6场比赛的得分分别是14,17,18,18,20,21,得分的平均数x=14+17+18+18+20+216=18,所以s2=16(14-18)2+(17-18)2+(18-18)2+(18-18)2+(20-18)2+(21-18)2=5.所以s=5.8.(2015陕西西安高三质检)气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天的日平均温度均不低于22 ”.现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数):甲地:5个数据的中位数为24,众数为22;乙地:5个数据的中位数为
10、27,总体均值为24;丙地:5个数据的总体均值为24,且极差小于或等于4.则肯定进入夏季的地区有(写出所有正确编号).答案:解析:甲地:5个数据的中位数为24,众数为22,所以数据可能为22,22,24,25,26;乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24,所以数据可能为19,20,27,27,27,不确定;丙地:5个数据的总体均值为24,且极差小于或等于4,数据可以为21,24,25,25,25,不确定;因此进入夏季的是甲地.9.某校高三数学竞赛初赛考试后,对参赛学生的成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示.若130,140分数段的人数为2.(1)求这所学校的参赛人数;(2)估计参赛学生
11、成绩的众数、中位数、平均数.解:(1)设参赛人数为N,由频率分布直方图知2N=0.00510,即N=40.故参赛的学生数为40.(2)因为在110,120)中的人数最多,所以参赛学生成绩的众数估计为115.设中位数为x,则(0.01+0.025)10+0.045(x-110)=0.5,解得x=11313,即参赛学生成绩的中位数估计为11313.平均数估计为950.0110+1050.02510+1150.04510+1250.01510+1350.00510=113,即参赛学生的平均成绩估计为113.10.(2015广东高考,理17)某工厂36名工人的年龄数据如下表:工人编号年龄工人编号年龄工
12、人编号年龄工人编号年龄140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2;(3)36名工人中年龄在x-s与x+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解:(1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2,公差
13、为4的等差数列,故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得其样本的均值x=44+40+36+43+36+37+44+43+379=40,方差s2=19(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2=1942+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2=1009.(3)由(2)知s=103,所以x-s=3623,x+s=4313.因为年龄在x-s与x+s之间共有23人,所以其所占的百分比是233663.89%.