1、湖南省永州市2021届高三数学三模试题（含解析）一、选择题（共8小题）.1已知集合M，N是实数集R的子集，若N1，2，且MRN，则符合条件的集合M的个数为（）A1B2C3D42已知i为虚数单位，复数z（2+i）（1+ai），aR，若zR，则a（）ABC2D23甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况种数为（）A18B36C54D644有一个装有水且底面直径为12cm的圆柱形容器，水面与容器口的距离为1cm现往容器中放入一个半径为r（单位：
2、cm）的小球，该小球放入水中后直接沉入容器底部，若使该容器内的水不溢出，则小球半径r的最大值为（）A1B2C3D45已知F是抛物线y24x的焦点，若A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|6，则线段AB的中点到直线x的距离为（）A2BC3D6若某物体作直线运动，路程S（单位：m）与时间t（单位：s）的关系由函数S（t）ke表示当t2s时，该物体的瞬时速度v为m/s，则当t6s时，该物体行驶的路程为（）A2e6B4e6C2e3D4e37已知点P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，则（+）的最小值为（）ABC1D28设随机变量的分布列如表：12320202021pa1a2a3a2
3、020a2021则下列说法错误的是（）A当an为等差数列时，a2+a2020B数列an的通项公式可能为anC当数列an满足an（n1，2，2020）时，a2021D当数列an满足P（k）k2ak（k1，2，2021）时，a1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9已知loga2021logb20210，则下列各式一定成立的是（）A2021a2021bB2C1D（m0）10若函数f（x）sin（2x+）对任意的xR，都有f（x）f（），则（）Af（x）的一个零点为xBf（x）在区间（，）上单调递
4、减Cf（x+）是偶函数Df（x）的一条对称轴为x11某校对“学生性别和喜欢锻炼是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢锻炼的人数占男生总人数的，女生喜欢锻炼的人数占女生总人数的若至少有95%的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有关”，则被调查学生中男生的人数可能为（）附：P（K2k0）0.0500.010k03.8416.635K2（na+b+c+d）A35B40C45D5012已知定义在R上的奇函数f（x）在（，0上单调递增，则“对于任意的x（0，1，不等式f（aex+2x）+f（xlnxx2）0恒成立”的充分不必要条件可以是（）Aa0BaCaDae三、填空题：本题共4小题，每
5、小题5分，共20分13写出一个渐近线方程为yx的双曲线标准方程 14（a）5的展开式中的常数项为80，则a 15如图为某月牙潭的示意图，该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成，其中外堤岸为半圆形，内堤岸圆弧所在圆的半径为30米，两堤岸的连接点A，B间的距离为30米，则该月牙潭的面积为 平方米16已知矩形ABCD中，AB2，BC4，E，F分别为BC，AD的中点将ABE沿直线AE翻折至AB1E的位置，若G为B1D的中点，则CG ；H为AE的中点，在翻折过程中，当B1HF为正三角形时，三棱锥B1AED的外接球的表面积是 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
6、骤17如图，在平面四边形ABCD中，DCB45，DBAD，CD2（1）若BD2，求BDC的面积；（2）若cosADC，AD，求角A的大小18已知数列an的前n项和为Sn，且a12，Snan+11，其中是不为0的常数（1）求a2，a3；（2）求出的一个值，以使得an为等比数列，并证明之19某工厂为A公司生产某种零件，现准备交付一批（1000个）刚出厂的该零件，质检员从中抽取了100个，测量并记录了它们的尺寸（单位：mm），统计结果如表：零件的尺寸（2，2.03（2.03，2.06（2.06，2.092.09以上零件的个数436564（1）将频率视为概率，设该批零件的尺寸不大于2.06mm的零件数
7、为随机变量X，求X的数学期望；（2）假设该厂生产的该零件的尺寸YN（2.069，0.012），根据A公司长期的使用经验，该厂提供的每批该零件中，Ym的零件为不合格品，约占整批零件的10%，其余尺寸的零件均为合格品请估计m的值（结果保留三位小数）附：若YN（，2），令Z，则ZN（0，1），且P（Z1.28）0.920如图，在四棱锥PABCD中，CDAB，ABC90，BDPA，AB2BC2CD4（1）证明：BD平面PAD；（2）设平面PAD平面PBCl，l平面ABCDG，PAPD2，在线段PG上是否存在点M，使得二面角PDCM的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明由21在圆x2+y24上任
8、取一点T，过点T作x轴的垂线段TD，D为垂足，点P为线段TD的中点（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）斜率为k（k0）且不过原点O的直线l交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交曲线C于点M，交直线x6于点N，且|OM|2|ON|OE|，求点H（0，1）到直线l的距离d的最大值22曲线的曲率定义如下：若f（x）是f（x）的导函数，令（x）f（x），则曲线yf（x）在点（x，f（x）处的曲率K已知函数f（x）+x（a0），g（x）（x+1）ln（x+1），且f（x）在点（0，f（0）处的曲率K（1）求a的值，并证明：当x0时，f（x）g（x）；（2）若bn，且Tnb1b2b3bn（n
9、N*），求证：（n+2）Tne参考答案一、选择题（共8小题）.1已知集合M，N是实数集R的子集，若N1，2，且MRN，则符合条件的集合M的个数为（）A1B2C3D4解：N1，2，MRN，MN，M1，2或M1或M2或M，故选：D2已知i为虚数单位，复数z（2+i）（1+ai），aR，若zR，则a（）ABC2D2解：因为z（2+i）（1+ai）2a+（2a+1）iR，所以2a+10，故故选：B3甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况种数为（
10、）A18B36C54D64解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论：、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有A336种情况，此时有3618种名次排列情况；、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有A326种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有A336种情况，此时有6636种名次排列情况；则一共有36+1854种不同的名次排列情况，故选：C4有一个装有水且底面直径为12cm的圆柱形容器，水面与容器口的距离为1cm现往容器中放入一个半径为r（单位：cm）的小球，该小球放入水中后直接沉入容器底部，若使该容器内的水不溢
11、出，则小球半径r的最大值为（）A1B2C3D4解：小球放入水中后直接沉入容器底部，若使该容器内的水不溢出，则球的最大体积与圆柱上部的体积相等，小球半径r，可得621，解得r3（cm）故选：C5已知F是抛物线y24x的焦点，若A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|6，则线段AB的中点到直线x的距离为（）A2BC3D解：F是抛物线y24x的焦点，F（1，0），准线方程x1，设A（x1，y1），B（x2，y2）|AF|+|BF|x1+1+x2+16，即x1+x24，线段AB的中点横坐标为（x1+x2）2，线段AB的中点到y轴的距离为2+故选：B6若某物体作直线运动，路程S（单位：m）与时间t
12、（单位：s）的关系由函数S（t）ke表示当t2s时，该物体的瞬时速度v为m/s，则当t6s时，该物体行驶的路程为（）A2e6B4e6C2e3D4e3解：S（t）ke，S（t）ke，根据题意得：ke，解得：k4S（6）4e4e3故选：D7已知点P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，则（+）的最小值为（）ABC1D2解：建立平面直角坐标系如下，则B（0，0），A（0，1），C（1，0），D（1，1），设P（x，y），（1，1），x，y，P（，），则（，），+（12，12），（+）（12）24224，0，1，当时，（+）取得最小值为，故选：A8设随机变量的分布列如表：1232020202
13、1pa1a2a3a2020a2021则下列说法错误的是（）A当an为等差数列时，a2+a2020B数列an的通项公式可能为anC当数列an满足an（n1，2，2020）时，a2021D当数列an满足P（k）k2ak（k1，2，2021）时，a1解：对于A，因为an为等差数列，所以，则有a2+a2020a1+a2021，故选项A正确；对于B，若数列an的通项公式为an，则，故选项B正确；对于C，因为an，所以，则有，故选项C错误；对于D，令SkP（k）k2ak，则，故，所以，所以an，所以S2021a1+a2+an，解得，故选项D正确故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在毎
14、小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9已知loga2021logb20210，则下列各式一定成立的是（）A2021a2021bB2C1D（m0）解：因为loga2021logb20210，所以a1，b1，ab，所以2021a2021b，A错误；22，B正确；取b2，a，C错误；0，所以，D正确故选：BD10若函数f（x）sin（2x+）对任意的xR，都有f（x）f（），则（）Af（x）的一个零点为xBf（x）在区间（，）上单调递减Cf（x+）是偶函数Df（x）的一条对称轴为x解：函数f（x）sin（2x+）对任意的xR，都有f（x）f（），则当
15、x时，函数取得最大值，故有 2+2k+，即 2k+，kZ，取，则f（x）sin（2x+）令x，求得f（x）0，可得f（x）的一个零点为x，故A正确；当x（，），2x+（，），f（x）单调递增，故B错误；f（x+）sin（2x+）cos2x，是偶函数，故C正确；令x，求得f（x）1，为最小值，故f（x）的一条对称轴为x，故D正确，故选：ACD11某校对“学生性别和喜欢锻炼是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢锻炼的人数占男生总人数的，女生喜欢锻炼的人数占女生总人数的若至少有95%的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有关”，则被调查学生中男生的人数可能为（）附：P（K2k0）0.0
16、500.010k03.8416.635K2（na+b+c+d）A35B40C45D50解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：5n，nN*，由题意可列出22列联表： 男生女生 合计喜欢锻炼 4n 3n 7n不喜欢锻炼 n 2n 3n合计 5n 5n10nK2由于有95%的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有关”，所以3.8416.635；解得：8.0661n13.9335，则n的可能取值为：9、10、11、12、13；则选项中被调查学生中男生的人数可能45或50故选：CD12已知定义在R上的奇函数f（x）在（，0上单调递增，则“对于任意的x（0，1，不等式f（aex+2x）+f（xlnxx
17、2）0恒成立”的充分不必要条件可以是（）Aa0BaCaDae解：f（x）为R上的奇函数，且在 （，0上单调递增，f（x）在R上单调递增，f（aex+2x）+f（xlnxx2）0，f（aex+2x）f（xlnxx2），f（x）为奇函数f（aex+2x）f（x2xlnx），f（x）为增函数，aex+2xx2xlnx在（0，1上恒成立，a（）max，x（0，1，设g（x），x（0，1，则g（x），令g（x）0，则xx0，且lnx0x0+30，lnx0x03，当x（0，x0）时，g（x）单调递增，当x（x0，1）时，g（x）单调递减当xx0时，g（x）取得极大值也为最大值为g（x0），a，对任意的x（
18、0，1，不等式恒成立时a的范围为，+），），+），e），+），故选：CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13写出一个渐近线方程为yx的双曲线标准方程x2y21答案不唯一解：渐近线方程为yx的双曲线，可知ab，不妨设ab1，所以一个渐近线方程为yx的双曲线标准方程为：x2y21，故答案为：x2y21答案不唯一14（a）5的展开式中的常数项为80，则a2解：二项式（a）5的展开式中的通项公式为Tk+1（）5k（a）k（a）kx，二项式（a）5的展开式中的常数项为80，当0时，得k3，此时常数项为 （a）380，即10a380，a38，解得a2，故答案为：215如图为某月牙潭的示意图，
19、该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成，其中外堤岸为半圆形，内堤岸圆弧所在圆的半径为30米，两堤岸的连接点A，B间的距离为30米，则该月牙潭的面积为450平方米解：连接AB，作AM的垂直平分线，交AB于点M，交两段弧于点P、Q，如图所示：设内堤岸弧所在圆心为O，则AB30米，OA30米，在RtAOM中，sinAOM，所以AOM，AOB，所以月牙潭的面积为：SS半圆S弓形（3023030）450（平方米）故答案为：45016已知矩形ABCD中，AB2，BC4，E，F分别为BC，AD的中点将ABE沿直线AE翻折至AB1E的位置，若G为B1D的中点，则CG；H为AE的中点，在翻折过程中，当
20、B1HF为正三角形时，三棱锥B1AED的外接球的表面积是解：如图，取AB1的中点K，连接EK，GK，则GKAD且GKAD，ECAD，ECAD，则GKEC且GKEC，四边形ECGK为平行四边形，则CGEK，在RtEB1K中，求得EK，即CG；由已知可得，AED为Rt，则AD中点F为AED的外心，又AB1E为Rt，则AE的中点H为AB1E的外心，分别过F、H作平面AED与平面AB1E的垂线，相交于O，则O为三棱锥B1AED的外接球的球心，B1HF为正三角形，B1HF60，HF，可得OHF30，又AF2，三棱锥B1AED的外接球的表面积是4R24故答案为：；四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写
21、出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在平面四边形ABCD中，DCB45，DBAD，CD2（1）若BD2，求BDC的面积；（2）若cosADC，AD，求角A的大小解：（1）因为BD2，由正弦定理，DCB45，可得sinCBD，由余弦定理可得cosDCB，可得BC4，所以SBDC4（2）因为ADDB，所以ADB90，cosADCcos（+BDC）sinBDC，即sinBDC，因为sinBDC，且BDC为锐角，所以cosBDC，所以sinDBCsin（BCD+BDC）sin（BCD+BDC）sinBCDcosBDC+cosBCDsinBDC，可得sinDBC，在BCD中，由正弦定理，可得，可得B
22、D，因为tanA，又A为锐角，所以A6018已知数列an的前n项和为Sn，且a12，Snan+11，其中是不为0的常数（1）求a2，a3；（2）求出的一个值，以使得an为等比数列，并证明之解：（1）数列an的前n项和为Sn，且a12，Snan+11，当n1时，S1a1a21，解得，当n2时，解得（2）当数列an为等比数列，故，整理得，解得证明如下：当时，Snan+11，当n2时，Sn1an1，得：，整理得an+13an，即（常数），故数列an是以2为首项，3为公比的等比数列19某工厂为A公司生产某种零件，现准备交付一批（1000个）刚出厂的该零件，质检员从中抽取了100个，测量并记录了它们的尺
23、寸（单位：mm），统计结果如表：零件的尺寸（2，2.03（2.03，2.06（2.06，2.092.09以上零件的个数436564（1）将频率视为概率，设该批零件的尺寸不大于2.06mm的零件数为随机变量X，求X的数学期望；（2）假设该厂生产的该零件的尺寸YN（2.069，0.012），根据A公司长期的使用经验，该厂提供的每批该零件中，Ym的零件为不合格品，约占整批零件的10%，其余尺寸的零件均为合格品请估计m的值（结果保留三位小数）附：若YN（，2），令Z，则ZN（0，1），且P（Z1.28）0.9解：（1）由题意可得，P（尺寸不大于2.06mm）0.4，所以XB（1000，0.4），所以E
24、（X）10000.4400；（2）设合格零件的最大尺寸为m，所以P（Ym）0.9，令Z，则Y0.01Z+2.069，所以P（Ym）P（0.01Z+2.069m）0.9，所以P（Z）0.9且P（Z1.28）0.9，则，解得m2.082，故m的值约为2.082mm20如图，在四棱锥PABCD中，CDAB，ABC90，BDPA，AB2BC2CD4（1）证明：BD平面PAD；（2）设平面PAD平面PBCl，l平面ABCDG，PAPD2，在线段PG上是否存在点M，使得二面角PDCM的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明由【解答】（1）证明：在底面ABCD中，CDAB，ABC90，AB2BC2CD
25、4，所以BD，AD，所以，故BDAD，又BDPA，PAADA，PA，AD平面PAD，故BD平面PAD；（2）解：延长AD，BC相交于点G，连结PG，则PG即为交线l，取AB的中点Q，连结DQ，则DQDC，过点D在平面PAD内作AD的垂线DH，则DH平面ABCD，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面PDC的法向量为，则，即，令z1，则，y0，故，设M（a，b，c），（01），则，故，所以，故，设平面MDC的法向量为，则有，即，令，则q0，r31，故，因为二面角PDCM的余弦值为，所以，化简整理可得3210+30，解得或3（舍），故在线段PG上存在点M，使得二面角PDCM
26、的余弦值为，此时的值为21在圆x2+y24上任取一点T，过点T作x轴的垂线段TD，D为垂足，点P为线段TD的中点（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）斜率为k（k0）且不过原点O的直线l交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交曲线C于点M，交直线x6于点N，且|OM|2|ON|OE|，求点H（0，1）到直线l的距离d的最大值解：（1）设点P的坐标为（x，y），点T的坐标为（x0，y0），则xx0，y，因为x02+y024，所以x2+4y24，所以动点P的轨迹C的方程为+y21（2）设直线l：ykx+m（k0，m0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+4k2）x2+8k
27、mx+4m240，所以x1+x2，中点E（，），由斜率公式可知kOE，所以lOE：yx，所以N（6，），联立，得x2，即，因为|OM|2|ON|OE|，所以，所以mk，所以直线l过定点（，0），当定点与点H（0，1）的连线与直线l垂直时，d取得最大值为22曲线的曲率定义如下：若f（x）是f（x）的导函数，令（x）f（x），则曲线yf（x）在点（x，f（x）处的曲率K已知函数f（x）+x（a0），g（x）（x+1）ln（x+1），且f（x）在点（0，f（0）处的曲率K（1）求a的值，并证明：当x0时，f（x）g（x）；（2）若bn，且Tnb1b2b3bn（nN*），求证：（n+2）Tne解：（1
28、）f（x）+1（x），（x），f（0）1，a0，f（x）在点（0，f（0）处的曲率K，解得a2当x0时，h（x）f（x）g（x）x2+x（x+1）ln（x+1），h（x）x+1ln（x+1）1xln（x+1），令u（x）xln（x+1），则u（x）10，u（x）在x0时单调递增，u（x）u（0）0，h（x）0，函数h（x）在（0，+）上单调递增，h（x）h（0）0，因此f（x）g（x）（2）证明：由（1）可得：x2+x（x+1）ln（x+1），x0，令xnN*，则：，Tnb1b2b3bn要证明：（n+2）Tne，只要证明：2ln（n+2）（n+1）ln2ln（n+1）1+0即可，n1时，左边2ln32ln2ln20，n2时，令v（x）2ln（x+2）（x+1）ln2ln（x+1）1+，v（x）ln2+s（x），s（x）0，v（x）v（2）ln20，v（x）在（2，+）上单调递减，v（x）v（2）4ln23ln2ln3ln2ln30，综上可得：（n+2）Tne成立
