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《创新设计》2015高考数学(江苏专用理科)二轮专题整合:突破练3.doc

1、高考资源网() 您身边的高考专家突破练(三)1设向量a(2,sin ),b(1,cos ),为锐角(1)若ab,求sin cos 的值;(2)若ab,求sin的值解(1)因为ab2sin cos ,所以sin cos .所以(sin cos )212sin cos .又因为为锐角,所以sin cos .(2)法一因为ab,所以tan 2.所以sin 22sin cos ,cos 2cos2sin2.所以sinsin 2cos 2 .法二因为ab,所以tan 2.所以sin ,cos .因此sin 22sin cos ,cos 2cos2sin2.所以sinsin 2cos 2 .2如图,在四棱

2、锥P ABCD中,PA底面ABCD,PCAD,底面ABCD为梯形,ABDC,ABBC,PAABBC,点E在棱PB上,且PE2EB.(1)求证:平面PAB平面PCB;(2)求证:PD平面EAC.证明(1)PA底面ABCD,BC平面ABCD,PABC,又ABBC,PAABA,BC平面PAB.又BC平面PCB,平面PAB平面PCB.(2)PA底面ABCD,又AD平面ABCD,PAAD.又PCAD,又PCPAP,AD平面PAC,又AC平面PAC,ACAD.在梯形ABCD中,由ABBC,ABBC,得BAC,DCABAC.又ACAD,故DAC为等腰直角三角形DCAC(AB)2AB.连接BD,交AC于点M,

3、连接EM,则2.在BPD中,2,PDEM又PD平面EAC,EM平面EAC,PD平面EAC.3如图,椭圆1(ab0)的上,下两个顶点为A,B,直线l:y2,点P是椭圆上异于点A,B的任意一点,连接AP并延长交直线l于点N,连接PB并延长交直线l于点M,设AP所在的直线的斜率为k1,BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为,且过点A(0,1)(1)求k1k2的值;(2)求MN的最小值;(3)随着点P的变化,以MN为直径的圆是否恒过定点?若过定点,求出该定点;如不过定点,请说明理由解(1)因为e,b1,解得a2,所以椭圆C的标准方程为y21.设椭圆上点P(x0,y0),有y1,所以k1k2.(2

4、)因为M,N在直线l:y2上,设M(x1,2),N(x2,2),由方程知y21知,A(0,1),B(0,1),所以kBMkAN,又由(1)知kANkBMk1k2,所以x1x212,不妨设x10,则x20,则MN|x1x2|x2x1x224,所以当且仅当x2x12时,MN取得最小值4.(3)设M(x1,2),N(x2,2),则以MN为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(y2)20,即x2(y2)212(x1x2)x0,若圆过定点,则有x0,x2(y2)2120,解得x0,y22,所以,无论点P如何变化,以MN为直径的圆恒过定点(0,22)4某商场对A品牌的商品进行了市场调查,预计2015年从1

5、月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是:P(x)x(x1)(412x)(x12且xN*)(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式;(2)若第x月的销售量g(x)(单位:件),每件利润q(x)元与月份x的近似关系为:q(x),问:该商场销售A品牌商品,预计第几月的月利润达到最大值?月利润最大值是多少?(e6403)解(1)当x1时,f(1)P(1)39.当x2时,f(x)P(x)P(x1) x(x1)(412x)(x1)x(432x) 3x(14x)f(x)3x242x(x12,xN*)(2)设月利润为h(x),h(x)q(x)g(x) h(x)当1x6时,h(x

6、)0,当6x7时,h(x)0,当1x7且xN*时,h(x)max30e612 090,当7x8时,h(x)0,当8x12时,h(x)0,当7x12且xN*时,h(x)maxh(8)2 987.综上,预计该商场第6个月的月利润达到最大,最大月利润约为12 090元5已知函数f(x)x3x2,g(x)aln x,aR.(1)若对任意x1,e,都有g(x)x2(a2)x恒成立,求a的取值范围;(2)设F(x)若P是曲线yF(x)上异于原点O的任意一点,在曲线yF(x)上总存在另一点Q,使得POQ中的POQ为钝角,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围解(1)由g(x)x2(a2)x,得(xln x)a

7、x22x.由于x1,e,ln x1x,且等号不能同时取得,所以ln xx,xln x0.从而a恒成立,amin.设t(x),x1,e求导,得t(x).x1,e,x10,ln x1,x22ln x0,从而t(x)0,t(x)在1,e上为增函数所以t(x)mint(1)1,所以a的取值范围是(,1(2)F(x)设P(t,F(t)为曲线yF(x)上的任意一点假设曲线yF(x)上存在一点Q(t,F(t),使POQ为钝角,则0.若t1,P(t,t3t2),Q(t,aln(t),t2aln(t)(t3t2)由于0恒成立,a(1t)ln(t)1.当t1时,a(1t)ln(t)1恒成立当t1时,a恒成立由于0

8、,所以a0.若1t1,且t0,P(t,t3t2),Q(t,t3t2),则t2(t3t2)(t3t2)0,即t4t210对1t1,且t0恒成立当t1时,同可得a0.综上所述,a的取值范围是(,06已知数列an的前三项分别为a15,a26,a38,且数列an的前n项和Sn满足Snm(S2nS2m)(nm)2,其中m,n为任意正整数(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn;(2)求满足San33k2的所有正整数k,n.解(1)在等式Smn(S2nS2m)(nm)2中,分别令m1,m2,得Sn1(S2nS2)(n1)2,Sn2(S2nS4)(n2)2,得an22n3.在等式Snm(S2nS2m)(nm

9、2)中,令n1,m2,得S3(S2S4)1,由题设知,S211,S319,故S429.所以an22n6(nN*),即an2n2(n3,nN*)又a26也适合上式,故anSn即Snn23n1,nN*.(2)记San33k2(*)n1时,无正整数k满足等式(*)n2时,等式(*)即为(n23n1)23(n10)k2.当n10时,k131.当n10时,则kn23n1,又k2(n23n)22n23n310,所以kn23n.从而n23nkn23n1.又因为n,kN*,所以k不存在,从而无正整数k满足等式(*)当n10时,则kn23n1,因为kN*,所以kn23n2.从而(n23n1)23(n10)(n23n2)2.即2n29n270.因为nN*,所以n1或2.n1时,k252,无正整数解;n2时,k2145,无正整数解综上所述,满足等式(*)的n,k分别为n10,k131.- 7 - 版权所有高考资源网

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