1、乌鲁木齐地区2016年高三年级第二次诊断性测验理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D2.复数对应的点在复平面的（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4. 若满足，则的最小值为（ ）A8 B7 C2 D15.已知是第二象限角，且，则（ ）A B C D6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A100 B92 C84 D767.在平行四边形中，是的中点，则（ ）A1 B2 C3 D48.执行如图所示的程序框
2、图，若，则输出的结果为（ ）A1 B C2 D9.已知都是正数，且，则的最小值为（ ）A B2 C D310.设函数，若，则方程的所有根之和为（ ）A B C D11.设，则下列不等式成立的是（ ）A B C D12.设为双曲线右支上一点，是坐标原点，以为直径的圆与直线的一个交点始终在第一象限，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中的系数是 .14.若椭圆的两焦点与短轴两端点在单位圆上，则此椭圆的内接正方形的边长为 .15.在三角形中，角角所对的边分别为，且，则此三角形的面积 .16.已知四面体满足
3、，则四面体的外接球的表面积是 .三、解答题 （第1721题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤） 17.已知数列的前项和为，且.（）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和为.18.如图，三棱锥中，是正三角形，平面，为中点，垂足为.()求证：；（）求二面角的平面角的余弦值.19.在一次高三数学模拟测验中，对本班“选考题”选答情况进行统计结果如下：选修4-1选修4-4选修4-5男生（人）1064女生（人）2614（）在统计结果中，如果把“选修4-1”和“选修4-4”称为“几何类”，把“选修4-5”称为“非几何类”，能否有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关
4、？（）已知本班的两名数学课代表都选答的是“选修4-5”，现从选答“选修4-1”、“选修4-4”和“选修4-5”的同学中，按分层抽样的方法随机抽取7人，记抽取到数学课代表的人数为，求得分布列及数学期望.附：. 0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.在平面直角坐标系中，动点到点的距离比它到轴的距离多1.()求点的轨迹的方程；()过点任作直线，交曲线于两点，交直线于点，是的中点，求证：.21.已知函数，其中.（）当时，求证：时，；（）试讨论函数的零点个数.请考生在22、23、24三题中任选一题作答
5、，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-1：几何证明选讲如图，中，以为直径的分别交于点交于点.求证：（）过点平行于的直线是的切线；（）.23. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆与圆交于两点.（）求直线的斜率；（）过点作的垂线分别交两圆于点，求.24. 选修4-5：不等式选讲设函数.（）若，求证：；（）若对任意，都有，求的最小值.乌鲁木齐地区2016年高三年级第二次诊断性测验理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分 15 BAABC 610 ACDCC 1112 DB1.选B.【解析】，故选B.2.选A.【解析
6、】，对应的点为.故选A. 3.选A.【解析】是偶函数，再根据的单调性，得，解得.故选B.4.选B.【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，平移直线，可知当经过点时，取最小值.故选B.5.选C.【解析】由,得，又是第二象限角,，原式=.故选C.6.选A.【解析】由几何体的三视图，可知该几何体为截去一角的长方体，其直观图如图所示，所以其体积，故选A.7.选C.【解析】，故选C.8.选D.【解析】由，解得或.由框图可知，开始，.第一步，.第二步， ，.第三步，.第四步，.第五步，因为，满足判断框内的条件，故输出结果为.故选D.9.选C.【解析】由题意知，则 ，当且仅当时，取最小值.故选C.10.选C
7、.【解析】， ，方程有两根，由对称性，有，故选C.11.选D.【解析】令，则，令则，当时，当时，函数的增区间为，减区间为，又当时，即，即而时，即，故A、B不正确，令，同理可知函数的增区间为，减区间为当时，即，即,故选D.12.选B.【解析】设，交点，则，与联立，得，若要点始终在第一象限，需要即要恒成立，若点在第一象限，此不等式显然成立；只需要若点在第四象限或坐标轴上此不等式也成立.此时，而，故恒成立，只需，即，.故选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.填.【解析】展开式的通项为，由题意可知，的系数为.14.填 【解析】由题意得，而，又，不可能是钝角，而，即，.15.填【解析】不妨
8、设椭圆方程为，依题意得，得椭圆方程为，设此内接正方形在第一象限的顶点坐标为，代入椭圆方程，得，所以正方形边长为.16.填【解析】在四面体中，取线段的中点为，连结，则，在中,，同理，取的中点为,由，得，在中，,取的中点为，则,在中，,该四面体的外接球的半径是，其外接球的表面积是.三、解答题：第1721题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤17.（12分）（），令，则记数列的前项和为，即则，两式相减，得 12分18.（12分）（）连结,由题意得,又平面，,面,又，面,； 6分（）如图，以为坐标原点，分别以,的方向为轴，轴正方向，建立空间直角坐标系.由题意得，则,设平
9、面的法向量为，则，即，令，则，于是，易知，平面的法向量为, ，即，二面角的平面角的余弦值是 12分19.（12分）（）由题意得列联表几何类非几何类合计男生（人） 女生（人） 合计（人）所以根据此统计有的把握认为学生选答“几何类”与性别有关. 6分（）根据分层抽样得，在选答“选修41”“选修44”和“选修45”的同学中分别抽取名，名，名，依题意知的可能取值为, ,所以的分布列为 12分20.(12分)（）依题意，点到点的距离与它到直线的距离相等，点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，的方程为； 5分（）根据对称性只考虑的斜率为正的情形，设点在准线上的投影分别为，要证，就是要证，只需证，即证设
10、直线的方程为，代入，得，设，则，在中，令，得，即因此，要证式成立，只需证：只需证：，由两式，可知，式成立，原命题获证 12分21.(12分)（）当时，令，则，当时，此时函数递增，当时，当时， 5分（） 令，得，当时，由得当时， ，此时，函数为增函数，时，时，故函数，在上有且只有一个零点 ；当时，且，由知，当，此时，；同理可得，当，；当时，；函数的增区间为和，减区间为故，当时，当时，函数，有且只有一个零点；又，构造函数，则 ，易知，对， 函数，为减函数，由，知，构造函数，则，当时，当时，函数的增区间为，减区间为，有，则，当时，而由知又函数在上递增，由和函数零点定理知，使得综上，当时，函数有两个零
11、点，当时，由知函数的增区间是和，减区间是由知函数，当为减函数，当时从而；当时，又时，函数递增，使得，根据知，函数时，有；时，函数有且只有一个零点综上所述：当和时，函数有两个零点，当时，函数有且仅有一个零点 12分请考生在第22、23、24题中任选一题作答，并将所选的题号下的“”涂黑如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分22（10分）（）连结，延长交于，过点平行于的直线是，是直径，四点共圆，又是圆内接四边形，而, , , ,是的切线 5分（）,四点共圆，, 同理,两式相加 10分23（10分）（）由，得， 5分（）设的极角为，则，则,代入得,代入得， 10分24（10分）（） 5分（），使恒成立的的最小值是 10分以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分
