1、2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1（4分）2020的相反数为（）AB2020C2020D【解答】解：2020的相反数为：2020故选：B2（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育下列安全图标不是轴对称的是（）A 注意安全B水深危险C必须戴安全帽D注意通风【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形故选：D3（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表
2、示正确的是（）A6.353105人B63.53105人C6.353106人D0.6353107人【解答】解：635.3万63530006.353106则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353106人故选：C4（4分）下列计算正确的是（）Aa2b+2ab23a3b3Ba6a3a2Ca6a3a9D（a3）2a5【解答】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6a3a3a2，故选项B错误；a6a3a9，故选项C正确；（a3）2a6a5故选项D错误故选：C5（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A众数是8B平均数是6C中位数是8D方差是9【解答】解：将这组数据重
3、新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为5，方差为（15）2+（25）2+（65）2+2（85）28.8，故选：A6（4分）如图，已知ABDC，ABCDCB，能直接判断ABCDCB的方法是（）ASASBAASCSSSDASA【解答】解：ABDC，ABCDCB，BCCB，ABCDCB（SAS），故选：A7（4分）如图，已知PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，线段OP交O于点M给出下列四种说法：PAPB；OPAB；四边形OAPB有外接圆；M是AOP外接圆的圆心其中正确说法的个数是（）A1B2C3D4【解答】解：PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，PAPB，所
4、以正确；OAOB，PAPB，OP垂直平分AB，所以正确；PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，OAPA，OBPB，OAPOBP90，点A、B在以OP为直径的圆上，四边形OAPB有外接圆，所以正确；只有当APO30时，OP2OA，此时PMOM，M不一定为AOP外接圆的圆心，所以错误故选：C8（4分）如图，在ABC中，EFBC，四边形BCFE的面积为21，则ABC的面积是（）AB25C35D63【解答】解：EFBC，AEFABC，（）2（）2，SAEFSABCS四边形BCFESABCSAEF21，即SABC21，SABC25故选：B9（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、
5、俯视图，则它的左视图的面积是（）A4B2CD2【解答】解：如图，过点B作BDAC于点D，此正三棱柱底面ABC的边AB在右侧面的投影为BD，AC2，AD1，ABAD2，BD，左视图矩形的宽为2，左视图的面积为2故选：D10（4分）已知点P（x0，y0）和直线ykx+b，求点P到直线ykx+b的距离d可用公式d计算根据以上材料解决下面问题：如图，C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y2x+6，P是直线l上的动点，Q是C上的动点，则PQ的最小值是（）AB1C1D2【解答】解：过点C作CP直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距
6、离d，Q的半径为1，PQ1，故选：B二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分请将答案填在答题卡的答案栏内）11（4分）函数y中，自变量x的取值范围是x3【解答】解：根据题意得，x30，解得x3故答案为：x312（4分）方程组的解是【解答】解：，+得：3x6，即x2，把x2代入得：y2，则方程组的解为，故答案为：13（4分）若关于x的一元二次方程x24xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m4【解答】解：由已知得：b24ac（4）241（m）16+4m0，解得：m4故答案为：m414（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试从七
7、年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90x10080x9070x8060x70x60人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人【解答】解：600480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：48015（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米【解答】解：圆锥的侧面积1平方分米故答案为16（4分）已知直线ab，用一块含30角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125，则235【解答】解：过点B作EFaab，EFab1AB
8、F，2FBCABC是含30角的直角三角形，ABC60ABF+CBF60，2602535故答案为：3517（4分）如图，正比例函数yx与反比例函数y的图象交于A，C两点，过点A作ABx轴于点B，过点C作CDx轴于点D，则ABD的面积为6【解答】解：正比例函数yx与反比例函数y的图象交点坐标A（，），C（，），ABx轴，CDx轴，OBABODCD，SABDBDAB26，故答案为：618（4分）AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且AOB60，在AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则PMN周长的最小值是5【解答】解：分别作P关于射线OA、射线OB的
9、对称点P与点P，连接PP，与OA、OB分别交于M、N两点，此时PMN周长最小，最小值为PP的长，连接OP，OP，OP，OA、OB分别为PP，PP的垂直平分线，P（4，3），OPOPOP5，且POAPOA，POBPOB，AOBAOP+BOP60，POP120，过O作OQPP，可得PQPQ，OPQOPQ30，OQ，PQPQ，PP2PQ25，则PMN周长的最小值是5故答案为：5三、解答题（本大题共8个小题，共78分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19（8分）计算：20200+sin30（）1【解答】解：原式1+221+12020（8分）先化简，再求值：（）（a+2），其中a2【解答】解
10、：原式（a+2）（a+2），当a2时，原式121（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90S100，B：80S90，C：70S80，D：S70并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整（2）扇形统计图中m15，n5，B等级所占扇形的圆心角度数为252（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男
11、生和1名女生的概率【解答】解：（1）被调查的总人数为410%40（人），C等级人数为40（4+28+2）6（人），补全图形如下：（2）m%100%15%，即m15，n%100%5%，即n5；B等级所占扇形的圆心角度数为36070%252，故答案为：15，5，252；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，恰好抽到1名男生和1名女生的概率为22（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁（参考数据：1.73，2.24，2.65）（1）这艘渔船在航行过程中
12、是否有触礁的危险？请说明理由（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离【解答】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作ADBC于D，如图：则ADBADC90，由题意得：AB60，BAD906030，BDAB30，ADBD3051.950，这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD30，AD30，BC33090，DCBCBD903060，在RtADC中，AC3079.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里23（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同其中购进一次性医用外科
13、口罩花费1600元，N95口罩花费9600元已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有，解得x2，经检验，x2是原方程的解，x+102+1012故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000y）10000，解得y1400故至少购进
14、一次性医用外科口罩1400只24（10分）如图，ABC内接于O，AB是O的直径，BD与O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE（1）求证：CE是O的切线（2）已知BD3，CD5，求O，E两点之间的距离【解答】证明：（1）如图，连接OC，OE，OBOC，OBCOCB，AB是直径，ACB90，E为BD的中点，BECEDE，ECBEBC，BD与O相切于点B，ABD90，OBC+EBC90，OCB+ECB90，OCE90OCCE，又OC为半径，CE是O的切线；（2）DD，BCDABD，BCDABD，BD2ADCD，（3）25AD，AD9，E为BD的中点，AOBO，OEAD，O，
15、E两点之间的距离为25（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示（1）求抛物线所表示的二次函数表达式（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示求CMN面积的最小值已知Q（1，）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设抛物线的解析式为yax2+bx+c（a0），在等腰RtABC中，OC垂直平分AB，且AB4，OAOBOC2，A（2，0），B（2，0），C（0，2），
16、解得，抛物线的解析式为y2；（2）设直线l的解析式为ykx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，x1+x22k，x1x24，当k0时2取最小值为4CMN面积的最小值为4假设抛物线上存在点P（m，2），使得点P与点Q关于直线l对称，OPOQ，即，解得，m31，m41，m31，m41不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），直线l的表达式为：y（1）x，当时，点P（，），线段PQ的中点为（，1），直线l的解析式为y（1+）x综上，直线l的解析式为y（1）x或y（1+）x26（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条探究两张纸
17、条叠放在一起，重叠部分的形状和面积如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45的角，将该纸条从右往左平移（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形（3）设平移的距离为xcm（0x6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2求s与x的函数关系式，并求s的最大值【解答】解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形如下图所示，（2）分别过B，D作BECD于点E，DFCB于点F，如图，BECDFC90，两纸条等宽，BEDF6，BCEDCF45，BCCD6，两纸条都是矩形，ABCD，BCAD，四边形ABCD是平行四边形，又BCDC，四边形ABCD是菱形；（3）当0x6时，重叠部分为三角形，如图所求，s，0x6，当x6时，s取最大值为s18cm2；当6x6时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为（x6）cm，s（x+x6）66x18，当x6时，s取最大值为（3618）cm2；当6x6+6时，重叠部分为五边形，如图所求，s五边形s菱形s三角形，此时，36；当x6+6时，重叠部分为菱形，如图所求，综上，s与x函数关系为：s（0x6），或s6x18（6x6），或s（6x6+6），或 s36（x6+6）故s的最大值为36