1、14.3 函数的极限巩固夯实基础 一、自主梳理 1.函数极限的概念 (1)如果f(x)=a且f(x)=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是a,记作f(x)=a,也可记作当x时，f(x)a. (2)一般地，当自变量x无限趋近于常数x0(但x不等于x0)时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f(x)的极限是a,记作f(x)=a,也可记作当xx0时，f(x)a. (3)一般地，如果当x从点x=x0左侧(即xx0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作f(x)=a. 2.极限的四则运算法则 如果f(x)
2、=a,g(x)=b,那么 f(x)g(x)=ab；f(x)g(x)=ab；=(b0).链接提示 (1)上述法则对x的情况仍成立； (2)Cf(x)=Cf(x)(C为常数)； (3)f(x)n=f(x)n(nN*). 二、点击双基1.f(x)=f(x)=a是f(x)在x0处存在极限的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:C2.f(x)=下列结论正确的是( ) A.f(x)=f(x) B.f(x)=2,f(x)不存在C.f(x)=0,f(x)不存在 D.f(x)f(x)答案:D3.函数f(x)在x0处连续是f(x)在点x0处有极限的( )A.充分不
3、必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A4.极限(-x)的值是( )A. B.0 C.1 D.不存在解析:(-x)=,(-x)不存在.答案:D5=_.解析:=3.答案:3诱思实例点拨【例1】 求下列各极限:(1)(-)；(2)-x；(3)；(4).剖析:若f(x)在x0处连续，则应有f(x)=f(x0),故求f(x)在连续点x0处的极限时，只需求f(x0)即可；若f(x)在x0处不连续，可通过变形，消去x-x0因式，转化成可直接求f(x0)的式子.解:(1)原式=-. (2)原式=a+b, =a+b. 原式=a+b. (3)因为=1,而=-1， , 所以不存在
4、 (4)原式= =(cos+sin)=.讲评:(2)中分子、分母应同除以,所以当x0时,求的值. 解:当a1时,=1,=0. a1时,不存在. 当0a1时,同上可求不存在. 当a=1时,=.【例2】=1,求a、b的值.剖析:先将已知式子进行分子有理化,让分子中出现x-1这个因式,进而求解.解:由=1得 =1. 解得a=-,b=-.讲评:此题易产生的错误是:由存在时,分子、分母一定有公因式-1,所以此时可得a=0,b=-1.此时不可能等于1.【例3】 (1)设试确定b的值,使f(x)存在；(2)f(x)为多项式,且=1,=5,求f(x)的表达式.解:(1)f(x)=(2x+b)=b,f(x)=(1+2x)=2, 当且仅当b=2时,有f(x)=f(x), 故b=2时,原极限存在. (2)由于f(x)是多项式,且=1, 可设f(x)=4x3+x2+ax+b(a、b为待定系数). 又=5, 即(4x2+x+a+)=5, a=5,b=0,即f(x)=4x3+x2+5x.讲评:(1)函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同. (2)初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.
