1、温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点38 立体几何中的向量方法一、选择题1.（2012陕西高考理科5）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）(A) (B) (C) (D)【解题指南】根据已知坐标系和线段之间的关系写出点A，B1，B，C1的坐标，然后根据向量夹角公式进行计算.【解析】选A.不妨设=2，则A（2,0,0），B1（0,2,1），B（0,0,1），C1（0,2,0），,所以直线与直线夹角的余弦值是，直线与直线夹角的余弦值为.二、解答题2.（2012江西高考理科19）在三棱柱中，
2、已知，点在底面ABC的投影是线段BC的中点O.（1）证明在侧棱上存在一点E，使得平面，并求出AE的长；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【解题指南】（1）连接AO，在平面的“衬托”下，探究点E的位置；（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解.【解析】(1)连接AO，在中，作于点E，因为，得，因为平面，所以.因为ABAC，OBOC，得，所以平面，所以，所以平面，又,得（2）如图，分别以OA，OB，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，由得点E的坐标是，由（1）得平面的法向量是，设平面的法向量，令，得，即，所以即平面与平面的夹角的余弦值是.3. （2012山东高考理科18）在如图所示的几何体中，四边形
3、是等腰梯形，平面.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值.【解题指南】本题考查了空间线面垂直的证法及利用向量法解决空间几何问题.【解析】（）因为四边形是等腰梯形， ，所以,又因为BC=CD，所以，因为，所以，在中，所以，又因为，,所以平面.（）连接AC,由（）可知，设，则,建立如图所示的空间直角坐标系，向量为平面的一个法向量.设向量为平面的一个法向量，则,即，取，则，则为平面的一个法向量.，而二面角F-BD-C的平面角为锐角，则二面角F-BD-C的余弦值为.4.（2012浙江高考理科20）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为的菱形，BAD=120，且PA平面ABCD，PA=,M，N分别为P
4、B,PD的中点.（1）证明：MN平面ABCD；（2）过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.【解题指南】由线线平行易得线面平行，而二面角的平面角可由空间向量求出.【解析】（1）连接BD.由M，N分别为PB,PD的中点可知，,又MN平面ABCD.(2)以AC,BD的中点O为原点，以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过O与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系则A(0,0),P(0,),， ,设平面的法向量为则，令，则即在中，,可得，可得,，而，设平面的法向量为,则令，则，即二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为.5.（2012福建高考理科18）如图，在长
5、方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点() 求证：B1EAD1；() 在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；() 若二面角A-B1E-A1的大小为30，求AB的长【解析】()以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）. 设，则，故，.()假设在棱上存在一点使得平面.此时又设平面的法向量.平面 得取，得平面的一个法向量要使平面，只要，有，解得又平面，存在点，满足平面，此时.()连接，由长方体及得，又由(1)知，且，平面 是平面的一个法向量，此时设与所成的角为，则二面角的大小为，即解得，即的长为2.
6、6.（2012广东高考理科18）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点 E在线段PC上，PC平面BDE.（1） 证明：BD平面PAC；（2） 若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值.【解题指南】（1）证明线面垂直利用判定定理需证线线垂直，本小题易证：.(2)解决本小题的关键是由（1）知，再结合矩形ABCD，进而确定四边形ABCD是正方形.然后可以利用空间向量法也可以利用传统方法找（或作）出二面角的平面角求解即可.【解析】(1),且.（2）由(1)知，,四边形ABCD为矩形，四边形ABCD为正方形.以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线为x,y,
7、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),设平面PBC的一个法向量为,则由,得,由（1）知的一个法向量为,设二面角B-PC-A的平面角为,则,.即二面角B-PC-A的正切值为3.7.（2012湖北高考理科19）如图1，ACB=45，BC=3，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC=90（如图2所示），来源:Zxxk.Com（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，
8、使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小.【解题指南】本题综合考查了空间几何体的性质与运算,解答本题(1)的关键是设出BD的长,转化成求函数的最值问题;对于(2)可通过建系降低思维量,也可利用传统方法求解.【解析】(1)方法一:在如图1所示的ABC中,设BD=x(0x3),则CD=3-x.由ADBC,ACB=45知,ADC为等腰直角三角形,所以AD=CD=3-x.由折起前ADBC知,折起后(如图2),ADDC,ADBD,且BDDC=D,所以AD平面BCD.又BDC=90,所以SBCD=BDCD=x(3-x),于是VA-BCD=ADSBCD=(3-x)x(3-x)=2x(3-x)(3-x)
9、3=,当且仅当2x=3-x,即x=1时,等号成立,故当x=1,即BD=1时,三棱锥A-BCD的体积最大.方法二:同方法一,得VA-BCD=ADSBCD=(3-x)x(3-x)=(x3-6x2+9x).令f(x)=(x3-6x2+9x),由f(x)=(x-1)(x-3)=0,且0x0;当x(1,3)时,f(x)0.所以当x=1时,f(x)取得最大值.故当BD=1时,三棱锥A-BCD的体积最大.(2)方法二:由(1)知,当三棱锥A-BCD的体积最大时,BD=1,AD=CD=2,如图b,取CD的中点F,连接MF,BF,EF,则MFAD,由(1)知AD平面BCD,所以MF平面BCD,如图c,延长FE至
10、P点使得FP=DB,连接BP,DP,则四边形DBPF为正方形,所以DPBF.取DF的中点N,连接EN,又E为FP的中点,则ENDP,所以ENBF,因为MF平面BCD.又EN平面BCD,所以MFEN.又MFBF=F,所以EN平面BMF.又BM平面BMF,所以ENBM.因为ENBM当且仅当ENBF,而点F是唯一的,所以点N是唯一的,即当DN=,即N是CD的靠近点D的一个四等分点时,ENBM.连接MN,ME,由计算得NB=NM=EB=EM=,所以NMB与EMB是两个共底边的全等的等腰三角形,如图d所示,取BM的中点G,连接EG,NG,则BM平面EGN,在平面EGN中,过点E作EHGN于H,则EH平面
11、BMN,故ENH是EN与平面BMN所成的角.在EGN中,易得EG=GN=NE=,所以EGN是正三角形,故ENH=60,即EN与平面BMN所成角的大小为60.方法一:以D为原点,建立如图a所示的空间直角坐标系D-xyz,由(1)知,当三棱锥A-BCD的体积最大时,BD=1,AD=CD=2,于是可得D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E(,1,0),且=(-1,1,1),设N(0,0),则=(-,-1,0).因为ENBM等价于=0,即(-,-1,0)(-1,1,1)=+-1=0,故=,N(0,0),所以当DN=,即N是CD上的靠近点D的一个四等分点时,ENBM.设平面BMN的一个法向量为=(x,y,z),由及=(-1,0),得可取=(1,2,-1).设EN与平面BMN所成角的大小为,则由=(-,-,0),=(1,2,-1),可得sin=cos(90-)=即=60,故EN与平面BMN所成角的大小为60.关闭Word文档返回原板块。