1、专题八 数学思想方法高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想 栏目索引 函数与方程思想 一 数形结合思想 二 分类与整合思想 三 转化与化归思想 四 一、函数与方程思想 函数思想 方程思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决
2、方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系 例1(1)把一段长16的铁丝截成两段，分别围成两个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为_ 8解析 设截成的铁丝其中一段长为 x(0 x16)，则围成的两个正方形面积之和 y(x4)2(16x4)2(0 xb0)的左焦点为 F，若 F 关于直线 3xy0的对称点 A 是椭圆 C 上的点，则椭圆 C 的离心率为_思维升华 31答
3、案 解析 跟踪演练1(1)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)”“”“”)解析 由于f(x)0 恒成立，因此fxx 在 R 上是单调递增函数，f22 f11，即 f(2)2f(1)解析答案 返回(2)如图是函数yAsin(x)(其中A0，0，)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是_ y2sin(2x23)解析 依函数图象，知y的最大值为2，所以A2.又T2512(12)2，所以 T，又2，所以2，所以y2sin(2x)将(12，2)代入可得 sin(6)1，故 622k，kZ，又，所以 23.所以函数的解析式为 y2sin(2x23)解析答案 二、数形结合思想 以形助数(数题形解)以数辅
4、形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想 借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合 例2(1)(2015湖南)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_(0,2)解析 由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示 则当0b2时，
5、两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点 解析答案(2)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点D 满足|CD|1，则|OA OB OD|的取值范围是_思维升华 71，71答案 解析 跟踪演练2(1)已知奇函数f(x)的定义域是x|x0，xR，且在(0，)上单调递增，若f(1)0，则满足xf(x)0的x的取值范围是_ 解析 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知xf(x)0，所以2a11无解；若a1，则log2(a1)3，解得a18，a7，例3(1)已知函数f(x)2x12，x1，log2x1，x1，且f(a)3，则f(6a)_.
6、74所以 f(6a)f(1)211274.综上所述，f(6a)74.解析答案(2)设 F1，F2 为椭圆x29y241 的两个焦点，P 为椭圆上一点已知 P，F1，F2 是一个直角三角形的三个顶点，且 PF1PF2，则PF1PF2的值为_思维升华 2 或72解析 若PF2F190，则 PF21PF22F1F22，PF1PF26，F1F22 5，解得 PF1143，PF243，PF1PF272.若F2PF190，则 F1F22PF21PF22PF21(6PF1)2，解得 PF14，PF22，PF1PF22.综上所述，PF1PF22 或72.解析答案 解析 因为m是2和8的等比中项，所以m2281
7、6，所以m4.跟踪演练 3(1)若 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 x2y2m1 的离心率是_32 或 5当 m4 时，圆锥曲线y24x21 是椭圆，当 m4 时，圆锥曲线 x2y241 是双曲线，其离心率 eca 51 5.其离心率 eca 32；解析答案 返回(2)设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0(n1,2,3，)，则q的取值范围是_ 解析 因为an是等比数列，Sn0，可得a1S10，q0.当q1时，Snna10；当 q1 时，Sna11qn1q0，即1qn1q 0(n1,2,3，)，则有1q0，1qn0，或1q0，1qn0.(1,0)(0，)由得1q1.故q的取值范围
8、是(1,0)(0，)解析答案 四、转化与化归思想 转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题 解析 f(x)3x22tx3，由于f(x)在区间1,4上单调递减，则有f(x)0在1,4上恒成立，即3x22tx30，即 t32(x1x)在1,4上恒成立，因为 y32(x1x)在1,4上单调递增，所以 t32(414)518.例4(1)若函数f(x)x3tx23x在区间1,4上单调递减，则实数t的取值范围是_ 解
9、析答案 518，)思维升华 解析 1,2是方程ax2bx20的两实根，(2)定 义 运 算：(ab)x ax2 bx 2，若 关 于 x 的 不 等 式(ab)x0的解集为x|1x2，则关于x的不等式(ba)x0的解集为_，23(1，)12ba，122a，解得a1，b3，由(31)x3x2x20，解得 x1.解析答案 跟踪演练 4(1)若对于任意 t1,2，函数 g(x)x3(m22)x22x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围是_(373，5)答案 解析(2)已知 a 为正常数，若不等式1x1x2x22a对一切非负实数 x 恒成立，则 a 的最大值为_返回 解析 原不等式即x22a1x21x(x0)，(*)令1xt，t1，则 xt21，4 所以(*)式可化为t2122a1t212tt22t12t122对 t1 恒成立，所以t12a1 对 t1 恒成立，又 a 为正常数，所以a(t1)2min4，故a的最大值是4.解析答案