1、第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考纲传真(教师用书独具)1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆) (对应学生用书第48页) 基础知识填充1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin_cos_cos_sin_；(2)cos()cos_cos_sin_sin_；(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin
2、22sin cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 2.知识拓展1有关公式的变形和逆用(1)公式T()的变形：tan tan tan()(1tan tan )；tan tan tan()(1tan tan )(2)公式C2的变形：sin2(1cos 2)；cos2(1cos 2)(3)公式的逆用：1sin 2(sin cos )2；sin cos sin.2辅助角公式asin bcos sin().基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(2)在锐角ABC中，si
3、n Asin B和cos Acos B大小不确定()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()(4)公式asin xbcos xsin(x)中的取值与a，b的值无关()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)sin 20cos 10cos 160sin 10()ABCDDsin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30，故选D3(2017全国卷)已知sin cos ，则sin 2()AB C DAsin cos ，(sin cos )212sin cos
4、 1sin 2，sin 2.故选A4(2017云南二次统一检测)函数 f(x)sin xcos x的最小值为_. 【导学号：79170103】2函数f(x)2sin的最小值是2.5若锐角，满足(1tan )(1tan )4，则_.由(1tan )(1tan )4，可得，即tan().又(0，)，.(对应学生用书第49页)三角函数式的化简(1)化简：_.(2)化简：.(1)2cos 原式2cos .(2)原式cos 2x.规律方法1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公
5、式，最常见的是“切化弦”三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向2三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂变式训练1化简sin2sin2sin2_. 【导学号：79170104】法一：原式sin21sin21cos 2cos sin21.法二：令0，则原式.三角函数式的求值角度1给角求值(1)()A B C D(2)sin 50(1tan 10)_.(1)C(2)1(1)原式.(2)sin 50(1tan 10)sin 50sin 50sin 501.角度2给值求值(1)(2016全国卷)若cos，则sin 2()AB CD(2)(2018安徽十校联考)已知为锐角
6、，且7sin 2cos 2，则sin()ABC D(1)D(2)A(1)cos，sin 2coscos 22cos2121.(2)由7sin 2cos 2得7sin 2(12sin2)，即4sin27sin 20，sin 2(舍去)或sin .为锐角，cos ，sin，故选A角度3给值求角(2018长春模拟)已知sin ，sin()，均为锐角，则角等于() 【导学号：79170105】AB C DC，均为锐角，.又sin()，cos().又sin ，cos ，sin sin()sin cos()cos sin().规律方法1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角
7、之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解2“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系3“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角三角变换的简单应用(1)(2017全国卷)函数f(x)sincos的最大值为()AB1C D(2)已知函数f(x)sin2xsin2，xR.求f(x)的最小正周期；求f(x)在区间上的最大值和最小值(1)A法一：f(x)sincoscos xsin xsin xcos xcos xsin xsin xcos xsin，当x2k(k
8、Z)时，f(x)取得最大值.故选A法二：，f(x)sincossincossinsinsin.f(x)max.故选A(2)由已知，有f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，且f，f，f，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为.规律方法1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用2把形如yasin xbcos x的函数化为ysin(x)的形式，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性变式训练2(2017北京高考)已知函数f(x)cos2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x时，f(x).解(1)f(x)cos 2xsin 2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T.(2)证明：因为x，所以2x，所以sinsin，所以当x时，f(x).