1、福建师大附中2012-2013学年高一（上）期末考试数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1（5分）下列条件中，能使的条件是（）A平面内有无数条直线平行于平面B平面与平面同平行于一条直线C平面内有两条直线平行于平面D平面内有两条相交直线平行于平面考点：平面与平面之间的位置关系.专题：规律型分析：直接利用平面与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的定义，判断选项即可解答：解：对于A，如果直线都是平行线，平面不平行于平面，所以A不正确；对于B，平面与平面同平行于一条直线，这条直线平行与两个平面的交线，两个平面也不平行，B不正确；对于C，平面内有两条
2、直线平行于平面，不满足直线与平面平行的判定定理，所以C不正确；对于D，平面内有两条相交直线平行于平面，这是两个平面平行的判定定理，所以正确故选D点评：本题考查平面与平面平行的判定定理与定义的应用，基本知识的考查2（5分）直线x+y+1=0的倾斜角与在 y 轴上的截距分别是（）A135，1B45，1C45，1D135，1考点：直线的截距式方程；直线的倾斜角.专题：计算题分析：先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角；在直线方程中，令x=0，能得到它在 y 轴上的截距解答：解：直线x+y+1=0的斜率为1，所以它的倾斜角为135，在x+y+1=0中，由x=0，得y=1，x+y+1=0在 y 轴上的截距为
3、1故选D点评：本题考查直线的倾斜角的求法和求直线的截距，解题时要注意公式的合理运用3（5分）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）A1条B2条C3条D1条或2条考点：平面的基本性质及推论.分析：画出把空间分成7部分时的三个平面，如图产，可知它们的交线情况，从而解决问题解答：解：根据题意，三个平面把空间分成7部分，此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线故选C点评：本题主要考查了平面的基本性质及推论、确定平面的条件及空间想象的能力，属于基础题4（5分）已知直线l1：axy+a=0，l2：（2a3）x+aya=0互相平行，则a的值是（）A1B3C1或3D0考点：直线的一般式方程与直线的平行关
4、系.专题：计算题；直线与圆分析：利用两条直线平行，斜率相等，建立等式即可求a的值解答：解：因为直线l1：axy+a=0，的斜率存在，斜率为a，要使两条直线平行，必有l2：（2a3）x+aya=0的斜率为a，即=a，解得 a=3或a=1，当a=1时，已知直线l1：axy+a=0，l2：（2a3）x+aya=0，两直线重合，当a=3时，已知直线l1：3x+y3=0与直线l2：3xy=1，两直线平行，则实数a的值为3故选B点评：本题考查两条直线平行的判定，是基础题本题先用斜率相等求出参数的值，再代入验证，是解本题的常用方法5（5分）（2009浙江）设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是
5、（）A若l，则lB若l，则lC若l，则lD若l，则l考点：空间中直线与平面之间的位置关系.分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案解答：解：若l，则l或l，故A错误；若l，则l或l，故B错误；若l，由平面平行的性质，我们可得l，故C正确；若l，则l或l，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：利用线面平行的定义（无公共点）；利用线面平行的判定定理（a，b，aba）；利用面面平行的性质定理（，aa）；利用面面平行的性质（，a，a，aa）线线
6、垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来6（5分）已知点M（a，b）在直线3x+4y=15上，则的最小值为（）A2B3CD5考点：基本不等式.专题：计算题分析：由题意可得，3a+4b=15，而a2+b2=，根据二次函数的性质可求解答：解：由题意可得，3a+4b=15a2+b2=根据二次函数的性质可得，当b=时有最小值9则的最小值为3故选B点评：本题主要考查了最
7、值的求解，解题的关键是根据已知关系把所求的式子转化为二次函数的最值求解7（5分）一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OABC的面积为，则原梯形的面积为（）A2BC2D4考点：平面图形的直观图.专题：计算题；作图题分析：根据斜二测画法的规则将图形还原，平面图是一个直角梯形，面积易求解答：解：如图，有斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图中OA长度的2倍，如直观图，OA的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2=2倍，故其面积是梯形OABC的面积2倍，
8、梯形OABC的面积为，所以原梯形的面积是4故应选D点评：本题考查斜二测画法作图规则，属于规则逆用的题型8（5分）若P（2，1）为圆（x1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）Axy3=0B2x+y3=0Cx+y1=0D2xy5=0考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质.专题：计算题分析：由圆心为O（1，0），由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程解答：解：已知圆心为O（1，0）根据题意：Kop=kABkOP=1kAB=1直线AB的方程是xy3=0故选A点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心
9、的连线与弦所在的直线垂直9（5分）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）AB56C14D16考点：球的体积和表面积.专题：计算题分析：根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而根据球的表面积公式求出球的表面积解答：解：因为长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，2，1，又因为长方体的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是圆的直径，因为长方体的体对角线的长是：球的半径是：这个球的表面积：4 =14故选C
10、点评：解决此类问题的关键是熟练掌握常用几何体的结构特征，以及球的内接多面体的有关知识，球的表面积公式，而解决此题的关键是知道球的直径与长方体的体对角线，考查计算能力，空间想象能力，此题属于基础题10（5分）（2009宁夏）已知圆C1：（x+1）2+（y1）2=1，圆C2与圆C1关于直线xy1=0对称，则圆C2的方程为（）A（x+2）2+（y2）2=1B（x2）2+（y+2）2=1C（x+2）2+（y+2）2=1D（x2）2+（y2）2=1考点：关于点、直线对称的圆的方程.专题：计算题分析：求出圆C1：（x+1）2+（y1）2=1的圆心坐标，关于直线xy1=0对称的圆心坐标求出，即可得到圆C2的
11、方程解答：解：圆C1：（x+1）2+（y1）2=1的圆心坐标（1，1），关于直线xy1=0对称的圆心坐标为（2，2）所求的圆C2的方程为：（x2）2+（y+2）2=1故选B点评：本题是基础题，考查点关于直线对称的圆的方程的求法，考查计算能力，注意对称点的坐标的求法是本题的关键11（5分）M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A相切B相交C相离D相切或相交考点：直线与圆的位置关系.专题：计算题分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M为圆内一点，所以M到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点
12、到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据求出的不等式即可得到d大于半径r，得到直线与圆的位置关系是相离解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=a，由M为圆内一点得到：a，则圆心到已知直线的距离d=a=r，所以直线与圆的位置关系为：相离故选C点评：此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题12（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的面积与B
13、EF的面积相等考点：棱柱的结构特征.专题：计算题分析：AACBE，可由线面垂直证两线垂直；BEF平面ABCD，可由线面平行的定义证线面平行；C三棱锥ABEF的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；D由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故AEF的面积与BEF的面积相等不正确解答：解：AACBE，由题意及图形知，AC面DD1B1B，故可得出ACBE，此命题正确，不是正确选项；BEF平面ABCD，由正方体ABCDA1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF平面ABCD，此命题正确，不是正确选项；C三棱锥ABEF的体积
14、为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥ABEF的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；D由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故AEF的面积与BEF的面积相等不正确，故D是错误的综上应选D故选D点评：本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的知识保证二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13（5分）过点A（a，4）和B（1，a
15、）的直线的倾斜角等于45，则a的值是考点：斜率的计算公式；直线的倾斜角.专题：计算题分析：利用直线的斜率公式即可求得答案解答：解：过点A（a，4）和B（1，a）的直线的倾斜角等于45，kAB=tan45=1，a=故答案为：点评：本题考查直线的斜率计算公式，考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题14（5分）直线kxy+1=3k，当k变化时，所有直线都通过定点 （3，1）考点：恒过定点的直线.专题：计算题分析：把直线的方程化为 k（x3）+1y=0，此直线一定过x3和1y=0 的交点，联立方程组可解得定点坐标（3，1）解答：解：直线kxy+1=3k，即 k（x3）+1y=0，由 得 定点的坐标为
16、（3，1）， 故答案为 （3，1）点评：本题考查直线过定点问题，直线 k（ax+by+c）+（mx+ny+p）=0 一定过两直线ax+by+c=0和mx+ny+p=0的交点15（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是2考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题分析：由三视图可知：该几何体是一个横放的直三棱柱，其高为2，底面是一个直角边分别为1，2的直角三角形据此即可计算出体积解答：解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直三棱柱，其高为2，底面是一个直角边分别为1，2的直角三角形故答案为2点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键16（5分）两平行线l1：xy+1=0与l2：xy
17、+3=0间的距离是考点：两条平行直线间的距离.专题：计算题；直线与圆分析：根据两条平行线之间的距离公式直接计算，即可得到直线l1与直线l2的距离解答：解：直线l1：xy+1=0与l2：xy+3=0互相平行直线l1与直线l2的距离等于d=故答案为：点评：本题给出两条直线互相平行，求它们之间的距离，着重考查了平行线间的距离公式的知识，属于基础题17（5分）集合A=（x，y）|x2+y2=4，B=（x，y|（x3）2+（y4）2=r2），其中r0，若AB中有且仅有一个元素，则r的值是3或7考点：集合的包含关系判断及应用.专题：计算题分析：集合A中的元素其实是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标
18、，而集合B的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上点的坐标，因为r0，若AB中有且仅有一个元素等价与这两圆只有一个公共点即两圆相切，则圆心距等于两个半径相加得到r的值即可解答：解：据题知集合A中的元素是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，集合B的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上任一点的坐标，因为r0，若AB中有且仅有一个元素，则集合A和集合B只有一个公共元素即两圆有且只有一个交点，则两圆相切，圆心距d=R+r或d=Rr；根据勾股定理求出两个圆心的距离为5，一圆半径为2，则r=3或7故答案为3或7点评：考查学生运用两圆位置关系的能力，理解集合交集的能力，集合的包含关系的判断即应
19、用能力18（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD； ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角 AB与CD所成的角为60；其中正确结论是（写出所有正确结论的序号）考点：与二面角有关的立体几何综合题.专题：计算题；证明题；压轴题分析：作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对四个命题逐一判断，即可得出正确结论解答：解：作出如图的图象，其中ABDC=90，E是BD的中点，可以证明出AED=90即为此直二面角的平面角对于命题，由于BD面AEC，故ACBD，此命题正确；对于命题，在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的边长，故ACD是等边三角
20、形，此命题正确；对于命题AB与平面BCD所成的线面角的平面角是ABE=45，故AB与平面BCD成60的角不正确；对于命题可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故EFH是等边三角形，由此即可证得AB与CD所成的角为60；综上知是正确的故答案为点评：本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法综合性较强，对空间立体感要求较高三、解答题：（本大题共6题，满分60分）19（8分）如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个
21、半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积.专题：计算题分析：根据题意，求出半球的体积，圆锥的体积，比较二者大小，判断是否溢出，即可得答案解答：解：因为V半球=V圆锥=因为V半球V圆锥所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子点评：本题考查球的体积，圆锥的体积，考查计算能力，是基础题20（10分）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D是线段AB上的动点（1）求AB所在直线的一般式方程；（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程考点：与直线有关的动点轨迹方程；直
22、线的一般式方程.专题：计算题；转化思想分析：（1）求出AB 所在直线的向量，然后求出AB所在的直线方程；（2）设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x0，y0），利用平行四边形，推出M与D坐标关系，利用当D在线段AB上运动，求线段CD的中点M的轨迹方程解答：（本小题满分10分）解：（1）ABOC，AD所在直线的斜率为：KAB=KOC=3AB所在直线方程是y0=3（x3），即3xy9=0（2）：设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x0，y0），由平行四边形的性质得点B的坐标是（4，6），M是线段CD的中点，x=，y=，于是有x0=2x1，y0=2y3，点D在线段AB上运动，3x0y09=0
23、，（3x04），3（2x1）（2y3）9=0即6x2y9=0，（2x）点评：本题考查直线方程的求法，与直线有关的动点的轨迹方程的求法，考查转化思想与计算能力21（12分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点（1）求证：直线BD1平面PAC；（2）求证：平面PAC平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.专题：证明题分析：（1）设AC和BD交于点O，由三角形的中位线的性质可得POBD1，从而证明直线BD1平面PAC（2）证明ACBD，DD1AC，可证AC面BD
24、D1B1，进而证得平面PAC平面BDD1B1 （3）CP在平面BDD1B1内的射影为OP，故CPO是CP与平面BDD1B1所成的角，在RtCPO中，利用边角关系求得CPO的大小解答：解：（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故POBD1，PO平面PAC，BD1平面PAC，所以，直线BD1平面PAC（2）长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则ACBD，又DD1面ABCD，则DD1ACBD平面BDD1B1，D1D平面BDD1B1，BDD1D=D，AC面BDD1B1AC平面PAC，平面PAC平面BDD1B1 （3）由（2）已证
25、：AC面BDD1B1，CP在平面BDD1B1内的射影为OP，CPO是CP与平面BDD1B1所成的角依题意得，在RtCPO中，CPO=30CP与平面BDD1B1所成的角为30点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点，属于中档题22（10分）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m（1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m请计算车
26、辆通过隧道的限制高度是多少考点：圆方程的综合应用.专题：计算题；直线与圆分析：（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系设圆的方程为（x0）2+（yb）2=r2，通过F，M在圆上，求出变量的值，得到圆的方程（2）设限高为h，作CPAD，交圆弧于点P，则|CP|=h+0.5，将P的横坐标x=代入圆的方程，求出y，然后求出限高解答：解：（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系则E（3，0），F（3，0），M（0，3），由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为（x0）2+（yb）2=r2，因为F，M在圆上，所以，解得b=
27、3，r2=36所以圆的方程为x2+（y+3）2=36（2）设限高为h，作CPAD，交圆弧于点P，则|CP|=h+0.5，将P的横坐标x=代入圆的方程，得，得y=2或y=8（舍），所以h=|CP|0.5=（y+|DF|）0.5=（2+2）0.5=3.5（m）答：车辆通过隧道的限制高度是3.5米点评：本题考查圆的方程的求法以及圆的方程的应用，考查计算能力23（10分）如图，四面体ABCD中，OE分别为BDBC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=（1）求证：AO平面BCD；（2）求 异面直线AB与CD所成角的余弦值考点：异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定.专题：计算题；转化思想
28、分析：（1）如图所示，要证AO平面BCD，只需证AOBD，AOCO即可，用运算的方式来证明结论（2）取AC中点F，连接OFOEEF，由中位线定理可得EFAB，OECD所以OEF（或其补角）是异面直线AB与CD所成角，然后在RtAOC中求解解答：解：（1）证明：ABD中AB=AD=，O是BD中点，BD=2AOBD且=1BCD中，连接OCBC=DC=2COBD且AOC中AO=1，CO=，AC=2AO2+CO2=AC2故AOCOAO平面BCD（2）取AC中点F，连接OFOEEFABC中EF分别为BCAC中点EFAB，且BCD中OE分别为BDBC中点OECD且异面直线AB与CD所成角等于OEF（或其补
29、角）又OF是RtAOC斜边上的中线等腰OEF中点评：本题主要考查线线，线面，面面垂直的转化及异面直线所成角的求法，同时，考查了转化思想和运算能力，是常考类型，属中档题24（10分）已知圆x2+y22ax6ay+10a24a=0（0a4）的圆心为C，直线L：y=x+m（1）若a=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；（2）若m=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；（3）若直线L是圆心C下方的切线，当a变化时，求实数m的取值范围考点：直线与圆的位置关系.专题：计算题；直线与圆分析：先把圆C的方程化为标准方程，求出圆心C，半径r（1）若a=2，则可求C，r，由弦AB过圆心时最长
30、可求|AB|max=2r，即可求（2）先求出圆心C（a，3a）到直线xy+2=0的距离d，若使弦长|AB|的最大值，则先表示出弦AB，然后根据二次函数的性质可求（3）先求出圆心C（a，3a）到直线xy+m=0的距离d，由直线L是圆心C的切线，可知d=r，从而可求m，a的关系，由a的范围可求m的范围解答：解：圆C的方程可化为（xa）2+（y3a）2=4a圆心C（a，3a0，半径r=2（1）若a=2，则C（2，6），r=2弦AB过圆心时最长|AB|max=4（2）若m=2，则圆心C（a，3a）到直线xy+2=0的距离d=，r=2直线与圆相交，dr，a24a+10且0a4，又|AB|=2，当a=2时
31、，|AB|max=2，（3）圆心C（a，3a）到直线xy+m=0的距离d=直线L是圆心C的切线，d=r，即，m=2a直线L是圆心C下方，m=2a2a（0，4，当a=时，mmin=1； 当a=4时，mmax=84，故实数m的取值范围是1，84点评：本题主要考查了圆的性质的应用，直线与圆相交关系的应用及点到直线距离公式的简单应用，属于圆的知识的综合应用四、附加题.（10分）25设M点是圆C：x2+（y4）2=4上的动点，过点M作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，切线MA，MB分别交x轴于D，E两点是否存在点M，使得线段DE被圆C在点M处的切线平分？若存在，求出点M的纵坐标；若不存在
32、，说明理由考点：直线与圆的位置关系.专题：计算题；转化思想；直线与圆分析：设存在点M（x0，y0）满足条件，设过点M且与圆O相切的直线方程为：yy0=k（xx0）通过点到直线的距离公式，求出直线MA，MB的斜率分别为k1，k2的关系，通过圆C在点M处的切线方程，求出切线与x轴的交点坐标，D，E的坐标，然后利用斜率关系式求出点M的纵坐标解答：解：设存在点M（x0，y0）满足条件设过点M且与圆O相切的直线方程为：yy0=k（xx0）则由题意得，化简得：设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，则圆C在点M处的切线方程为令y=0，得切线与x轴的交点坐标为又得D，E的坐标分别为由题意知，用韦达定理代入可得，与联立，得点评：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，圆的切线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801