1、课时分层训练(四十六)抛物线 (对应学生用书第274页)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1(2016四川高考)抛物线y24x的焦点坐标是()A(0,2)B(0,1)C(2,0)D(1,0)D由y24x知p2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)2(2018佛山模拟)已知点F是抛物线C：y24x的焦点，点A在抛物线C上，若|AF|4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为() 【导学号：00090309】A4B3C2D1B由题意易知F(1,0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为|AF|4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为3.3O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C
2、上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2B2C2D4C如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|x04，得x03，代入抛物线方程得，y4324，所以|y0|2，所以SPOF|OF|y0|22.4(2018岳阳模拟)若直线y2x与抛物线x22py(p0)相交于A，B两点，则|AB|等于()A5pB10pC11pD12pB将直线方程代入抛物线方程，可得x24pxp20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24p，y1y29p，直线过抛物线的焦点，|AB|y1y2p10p，故选B5(2018汕头模拟)已知P是抛物线y24x上的一个动点，Q是圆(x3)2(y1)21上的一个动点，N
3、(1,0)是一个定点，则|PQ|PN|的最小值为()A3B4C5D1A由抛物线方程y24x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，N与F重合过圆(x3)2(y1)21的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|PN|的最小值等于|MH|13.故选A二、填空题6抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_. 【导学号：00090310】6在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，p，所以B.又因为点B在双曲线上，故1，解得p6.7已知抛物线x2ay与直线y2x2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方
4、程为_x23y设点M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y，得x22ax2a0，所以3，即a3，因此所求的抛物线方程是x23y.8如图871是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽为_米图8712由题意，可设抛物线方程为x22py(p0)点(2，2)在抛物线上，p1，即抛物线方程为x22y.当y3时，x.水位下降1米后，水面宽为2米三、解答题9抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2y29相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程. 【导学号：00090311】解由题意，设抛物线方程为x22ay(a0)设公共弦MN交y轴
5、于A，则|MA|AN|，且AN.3分|ON|3，|OA|2，N(，2).6分N点在抛物线上，52a(2)，即2a，故抛物线的方程为x2y或x2y.8分抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.10分抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.12分10已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解(1)由题意得直线AB的方程为y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2.3分由抛物线定义得|AB|x1x2pp9，所以p4，从而该
6、抛物线的方程为y28x.5分(2)由(1)得4x25pxp20，即x25x40，则x11，x24，于是y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4).8分设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42).10分又y8x3，所以2(21)28(41)，整理得(21)241，解得0或2.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2018石家庄模拟)已知圆C1：x2(y2)24，抛物线C2：y22px(p0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|，则抛物线C2的方程为()Ay2xBy2xCy2xDy2xC由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为ykx(易知k0)，圆心C
7、1(0,2)到直线AB的距离d，解得k2，由得或把代入抛物线方程，得22p，解得p，所以抛物线C2的方程为y2x.故选C2(2018汕头模拟)过抛物线C：x22y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则|AF|_. 【导学号：00090312】1x22y，y，yx，抛物线C在点B处的切线斜率为1，B，抛物线x22y的焦点F的坐标为，直线l的方程为y，|AF|BF|1.3抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2 ，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值解(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40.2分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2 ，所以y12y2.联立上述三式，消去y1，y2得m.所以直线AB的斜率是2.5分(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB8分因为2SAOB2|OF|y1y2| 4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4. 12分
