1、1.3 充要条件与反证法知识梳理1.充分条件：如果pq，则p叫q的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的必要条件.2.必要条件：如果qp，则p叫q的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的充分条件.3.充要条件：如果既有pq，又有qp，记作pq，则p叫做q的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的.4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法.点击双基1.ac2bc2是ab成立的A.充分而不必要条件B.充要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：abac2bc2，如c
2、=0.答案：A2.（2004年湖北，理4）已知a、b、c为非零的平面向量.甲：ab=ac，乙：b=c，则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：命题甲:ab=aca（bc）=0a=0或b=c.命题乙:b=c，因而乙甲，但甲乙.故甲是乙的必要条件但不是充分条件.答案：B3.（2004年浙江，8）在ABC中，“A30”是“sinA”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在ABC中，A300sinA1sinA，sinA30A150A30.“A30”是“si
3、nA”的必要不充分条件.答案：B4.若条件p:a4，q:5a6，则p是q的_.解析：a45a6，如a=7虽然满足a4，但显然a不满足5a6.答案：必要不充分条件5.（2005年春季上海，16）若a、b、c是常数，则“a0且b24ac0”是“对任意xR，有ax2+bx+c0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a0且b24ac0，则对任意xR，有ax2+bx+c0，反之，则不一定成立.如a=0，b=0且c0时，也有对任意xR，有ax2+bx+c0.因此应选A.答案：A典例剖析【例1】 使不等式2x25x30成立的一个充分而不必要条件是A.x0 B.x
4、0C.x1，3，5D.x或x3剖析：2x25x30成立的充要条件是x或x3，对于A当x=时2x25x30.同理其他也可用特殊值验证.答案：C【例2】 求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”.x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a12+b1+c=0，即a+b+c=0.（2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.把x=1代入方程的左边，得a12+b1+c=a+b+c.a+b+c=0，x=1是方程的根.综合（1）（2）知命题成立.深化拓展求a
5、x2+2x+1=0（a0）至少有一负根的充要条件.证明：必要性：（1）方程有一正根和一负根，等价于a0.（2）方程有两负根，等价于0a1.综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a0或0a1.充分性：由以上推理的可逆性，知当a0时方程有异号两根；当0a1时，方程有两负根.故a0或0a1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件.答案：a0或0a1.【例3】 下列说法对不对?如果不对，分析错误的原因.（1）x2x2是x=x2的充分条件；（2）x2x2是x=x2的必要条件.解：（1）x2=x+2是x=x2的充分条件是指x2=x+2x=x2.但这里“”不成立，因为x=1时，“”左边为真，但右边
6、为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理：x2=x+2x=x2=x.这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.（2）x2=x+2是x=x2的必要条件是指x=x2x2=x+2.但这里“”不成立，因为x=0时，“”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:x=x2=xx+2=x2.这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.评述：此题的解答比较注重逻辑推理.事实上，也可以从真值集合方面来分析：x2=x+2的真值集合是1，2，x=x2的真值集合是0，2，1，20，2，而0，2 1，2，所以（1）（2）两个结论都不对.闯关训练夯实基础1.（2004年
7、重庆，7）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：依题意有pr，rs，sq，prsq.但由于rp，qp.答案：A2.（2003年北京高考题）“cos2=”是“=k+，kZ”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：cos2=2=2k=k.答案：A3.（2005年海淀区第一学期期末练习）在ABC中，“AB”是“cosAcosB”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：在ABC中，ABcosAcosB
8、（余弦函数单调性）.答案：C4.命题A：两曲线F（x，y）0和G（x，y）=0相交于点P（x0，y0），命题B：曲线F（x，y）+G（x，y）0（为常数）过点P（x0，y0），则A是B的_条件.答案：充分不必要5.（2004年北京，5）函数f（x）=x22ax3在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是A.a（，1B.a2，+）C.1，2D.a（，12，+）解析：f（x）=x22ax3的对称轴为x=a，y=f（x）在1，2上存在反函数的充要条件为1，2（，a或1，2a，+），即a2或a1.答案：D6.已知数列an的前n项和Sn=pn+q（p0且p1），求数列an成等比数列的充要条件.分析：先根据
9、前n项和公式，导出使an为等比数列的必要条件，再证明其充分条件.解：当n=1时，a1=S1=p+q；当n2时，an=SnSn1=（p1）pn1.由于p0，p1，当n2时，an是等比数列.要使an（nN*）是等比数列，则=p，即（p1）p=p（p+q），q=1，即an是等比数列的必要条件是p0且p1且q=1.再证充分性：当p0且p1且q=1时，Sn=pn1，an=（p1）pn1，=p（n2），an是等比数列.培养能力7.（2004年湖南，9）设集合U=（x，y）xR，yR，A=（x，y）|2xy+m0，B=（x，y）|x+yn0，那么点P（2，3）A（UB）的充要条件是A.m1，n5B.m1，n
10、5C.m1，n5D.m1，n5解析：UB=（x，y）nx+y，将P（2，3）分别代入集合A、B取交集即可.选A.答案：A8.已知关于x的一元二次方程mx24x+4=0， x24mx+4m24m5=0. 求使方程都有实根的充要条件.解：方程有实数根的充要条件是1=（4）216m0，即m1；方程有实数根的充要条件是2=（4m）24（4m24m5）0，即m.方程都有实数根的充要条件是m1.9.已知a、b、c是互不相等的非零实数.求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.证明：反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则1=4b2
11、4ac0，2=4c24ab0，3=4a24bc0.相加有a22ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20，（ab）2+（bc）2+（ca）20. 由题意a、b、c互不相等，式不能成立.假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.探究创新10.若x、y、z均为实数，且a=x22y+，b=y22z+，c=z22x+，则a、b、c中是否至少有一个大于零？请说明理由.解：假设a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，则a+b+c0.而a+b+c=x22y+y22z+z22x+=（x1）2+（y1）2+（z1）2+3，30，且无论x、y、z为何实数，（x1）2+（y1）2+（z1）20，
12、a+b+c0.这与a+b+c0矛盾.因此，a、b、c中至少有一个大于0.思悟小结1.要注意一些常用的“结论否定形式”，如“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式是“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明.教师下载中心教学点睛1.掌握常用反证法证题的题型，如含有“至少有一个”“至多有一个”等字眼多用反证法.2.强调反证法的第一步，要与否命题分清.3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证.拓展题例【例题】 指出下列命题中，p是q的什么条件.（1）p:0x3，q:|x1|2；（2）p:（x2）（x3）=0，q:x=2；（3）p:c=0，q:抛物线y=ax2+bx+c过原点.解：（1）p:0x3，q:1x3.p是q的充分但不必要条件.（2）pq，qp.p是q的必要但不充分条件.（3）p是q的充要条件.评述：依集合的观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.