1、福建省厦门市2020届高三数学上学期期末质量检测试题 理（含解析）（满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解不等式得集合B，再根据交集定义求结果.【详解】故选：D【点睛】本题考查
2、交集定义以及解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.2.已知，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据不等式性质得B正确，举反例说明A,C,D错误.【详解】.故B正确；，故A错误；，故C错误；，故D错误；故选：B【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.3.已知，则的值为（ ）A. -2B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】先根据诱导公式化简，再根据同角三角函数关系求结果.【详解】故选：A【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.4.阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面
3、积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积据此得某椭圆面积为，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据定义以及条件列关于方程组，解得结果.【详解】由题意得即标准方程可以为故选：D【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.5.在一次数学测试中，某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8，则该班甲同学的数学成绩不可能是（ ）A. 60B. 70C. 80D. 90【答案】A【解析】【分析】根据方差含义列不等式，解得结果.【详解】设甲同学的数学成绩为，则故选：A【点睛】本题考查方差公式，考查基本分析求解
4、能力，属基础题.6.甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），需要淘汰两人，一人胜出现三人同时随机出拳，则游戏只进行一回合就结束的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先确定总事件数，再确定游戏只进行一回合就结束的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】三人同时随机出拳，共有种基本事件；其中游戏只进行一回合就结束的事件数为；所以所求概率为；故选：C【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7.在边长为2的菱形中，则（ ）A. 1B. C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】建立直角坐标系，设立各点坐标，利用
5、向量数量积坐标表示得结果.【详解】以AC,BD所在直线为x,y轴建立直角坐标系，则；故选：C【点睛】本题考查向量数量积坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知直线与平面所成角为45，在内的射影为，直线，且与所成角为45，则与所成角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 75【答案】C【解析】【分析】根据三余弦定理列方程解得结果.【详解】设与所成角为，所以故选：C【点睛】本题考查三余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质由值域确定自变量确
6、诊范围，解不等式得结果.【详解】因为在上的值域为，所以故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.10.地震波分为纵波和横波，纵波传播快，破坏性弱；横波传播慢，破坏性强地震预警是指在地震发生后，利用地震波传播速度小于电波传播速度的特点，地震发生地提前对地震波尚未到达的地方进行预警通过地震预警能在地震到达之前，为民众争取到更多逃生时间2019年6月17日22时55分四川省宜宾市长宁县发生6.0级地震，震源深度约16千米，震中长宁县探测到纵波后4秒内通过电波向成都等地发出地震警报已知纵波传播速度约为5.57千米/秒，横波传播速度约为3.24千米秒，长宁县距成
7、都约261千米，则成都预警时间（电波与横波到达的时间差）可能为（ ）A. 51秒B. 56秒C. 61秒D. 80秒【答案】C【解析】【分析】先求长宁县探测到纵波时间，再求横波到达成都时间，最后根据定义求预警时间.【详解】长宁县探测到纵波时间,横波到达成都时间为所以预警时间为故选：C【点睛】本题考查新定义，考查基本分析求解能力，属基础题.11.已知函数是的导函数，有下述四个结论是奇函数 在内有21个极值点在区间上为增函数 在区间上恒成立的充要条件是其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据奇函数定义判定成立；根据导数符号判定成立；根据导函数零点确定错误
8、；根据恒成立以及对应函数最值确定正确.【详解】是奇函数 ; 即成立；当时当时因此在内至多有20个极值点；即错误；当时，在区间上为增函数，即成立；当时当时设令因为当时，即正确.故选：C【点睛】本题考查奇函数定义、函数极值、利用导数研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题.12.已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据双曲线定义以及勾股定理解得，再根据勾股定理求离心率.【详解】解：记双曲线的左、右焦点分别为，设双曲线的实半轴长为，半焦距为
9、连接，结合双曲线的对称性可知四边形是矩形，设，则，在中，即可得，从而，中，即，故选：D【点睛】本题考查双曲线离心率，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知，是虚数单位，则_【答案】【解析】【分析】根据复数乘法法则求解得结果.【详解】故答案：【点睛】本题考查复数乘法运算，考查基本分析求解能力，属基础题.14.某企业计划通过广告宣传来提高销售额，经统计，产品的广告费（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：012341530354050由表中的数据得线性回归方程为投入的广告费时，销售额的预报值为_百万元【答案】66【解析】【分析】
10、先求平均值，再代入线性回归方程得，最后利用线性回归方程估计结果.【详解】因为，所以因此时，故答案为：66【点睛】本题考查求线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.15.一个各面封闭的直三棱柱，底面是直角三角形，其内部有一个半径为1的球，则该直三棱柱的体积最小值为_【答案】【解析】【分析】先确定体积最小时球与各面都相切，再求底面面积最小值，最后计算对应棱柱体积.【详解】体积取最小时，半径为1的球与各面都相切，此时直三棱柱的高为2，底面内切圆半径为1，根据对称性可得当底面为等腰直角三角形时，底面面积最小，设直角边长为，由 体积为故答案为：【点睛】本题考查棱柱体积以及球与多面体相切问题
11、，考查基本分析求解能力，属中档题.16.的内角的对边分别为，角的平分线交于点，则_，的面积为_【答案】 (1). (2). 【解析】分析】先根据正弦定理以及三角形内角关系化简条件即得，解得；再利用正弦定理解得， ，利用列方程，解得角，最后根据三角形面积公式求结果.【详解】由正弦定理可知：，同理，化简可得：，或（舍），或，或故答案为： ; 【点睛】本题考查利用正弦定理以及三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.等比数列中
12、，且2，成等差数列（1）求的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据条件列关于公比的方程，解得结果，再代入等比数列通项公式；（2）先根据条件解得，再利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列的公比为因为成等差数列，所以，即，所以，解得或（舍去），所以数列的通项公式 （2）因为，所以，从而，所以【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列和数列求和，考查运算求解能力，考查化归转化思想、函数方程思想渗透数学运算的核心素养18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，是直角三角形，为中点（1）求证：；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【
13、解析】【分析】（1）取的中点，根据等边三角形性质得，根据矩形性质得，最好根据线面垂直判定定理与性质定理得结果；（2）法一：建立空间直角坐标系，利用向量数量积求各面方向量 ，再根据二面角与法向量夹角关系求结果；法二：取的中点，证明为二面角的平面角，再根据解三角形得结果.【详解】（1）取的中点，连接，在等边三角形中，；在矩形中，则，平面平面，（2）法一：设，则，且点为的中点，（三线合一）为等腰直角三角形且，两两垂直以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为的，由得令得（注：也可证明为平面的一个法向量）设平面的一个法向量为，由得令得由图知，二面角为钝角，则二面角的余弦值
14、为（2）法二：设，则，且点为的中点，（三线合一）为等腰直角三角形，为等腰三角形，取的中点，连接，在等边三角形中，连接，则，则为二面角的平面角连接，在中，由余弦定理，则二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查空间线线、线面垂直的判定与性质，二面角的定义以及二面角的求法，考查空间想象能力推理论证能力、运算求解能力19.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，（1）求抛物线的方程；（2）以为斜边作等腰直角三角形，当点在轴上时，求的面积【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设直线方程为与抛物线方程联立，根据向量数量积坐标表示，结合韦达定理求得（2）设线段中点为，根据列方程解得坐标，再代入三角形面积公
15、式求结果.【详解】（1）依題意，设直线方程为联立，得： 由韦达定理：，又，所以故抛物线方程为（2）设线段中点为由（1）知，依题意：，即整理得所以【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，数量积运算，考查弦长问题，面积问题，考查运算求解能力考查数形结合思想，转化与化归思想20.习总书记在十九大报告中提出乡村振兴战略，厦门市政府贯彻落实实施这一战略，形成了“一村一品一业”的新格局同安区郭山村是全国科教兴村计划试点村，也是厦门市第一批科技示范村，全村从事以紫长茄为主的蔬菜种植受种植条件、管理水平、市场等因素影响，每年紫长茄的平均亩产量和统一收购价格会有波动，亩产量与收购价格互不影响根据以往资料预测，该
16、村紫长茄今年的平均亩产量X（单位：吨）的分布列如下：X1012P0.50.5紫长茄今年的平均统一收购价格Y（单位：万元吨）的分布列如下：Y0.50.6P0.80.2（1）某农户种植三个大棚紫长茄，每个大棚1亩，每个大棚产量相互独立，求这三个大棚今年总产量不低于34吨的概率；（2）紫长茄今年每亩种植成本约1.5万元，设Z表示该村紫长茄今年平均每亩的利润（单位：万元），求Z的分布列和数学期望【答案】（1）0.5 （2）万元，分布列见解析【解析】【分析】（1）先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布概率公式求结果；（2）先确定随机变量取法，再分别求对应概率,列表得分布列，最后根据数学期望公式得结果
17、.【详解】（1）设事件A表示一个大棚亩产量为12吨，事件A发生的次数为，因为每个大棚产量相互独立，所以这三个大棚总产量不低于34吨的概率（2）设事件B表示亩产量为10吨，事件C表示市场价格为0.5万元吨，则，每亩利润Z的所有可能取值为：，所以Z的分布列为Z3.54.55.7P0.40.50.1利润Z的数学期望（万元）【点睛】本题主要考查独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识；考查运算求解能力、数学建模能力与应用意识；考查转化与化归、概率与统计思想.21.函数（1）当时，求方程的根的个数；（2）若恒成立，求的取值范围注： 为自然对数的底数【答案】（1）两个 （2）【解
18、析】【分析】（1）转化为研究函数零点问题，利用导数研究其单调性，再根据零点存在定理确定零点个数；（2）先转化对应函数最值问题：，再令，转化为解不等式，最后根据导数研究新函数单调性，根据单调性解不等式得结果.【详解】（1）当时，构造函数，求导得：，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增； 又，使，即存在两个零点，方程存在两个根（2），i）当时，不合题意，舍去；ii）当时，由可得，列表：-0+极小值据表可得，依题意有令，则上式等价于，等价于，构造函数，记函数，易证得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，注意到，综上所述，【点睛】本题主要考查函数的零点、导数在研究函数性质中的应用等基础知识：考查
19、推理论证、运算求解能力：考查转化与化归、函数与方程、数形结合思想.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）过点作倾斜角为的直线交于两点，过作与平行的直线交于点，若，求【答案】（1）的普通方程为；的直角方程为； （2）【解析】【分析】（1）根据加减消元得曲线的普通方程，根据，得的直角坐标方程；（2）先写出直线，参数方程，代入，再根据参数几何意义化简条件解得结果
20、.【详解】（1）：（为参数），又，曲线的普通方程为；，又，即，曲线的直角方程为；（2）由题意，设（参数），（为参数），依题意，与联立得，与联立得，设点对应的参数分别为，则，由且，得，即，故，又，【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等基础知识：考查运算求解能力：考查数形结合、函数与方程思想.选修4-5：不等式选讲23.已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先化分段函数形式，再根据分段函数性质分类解不等式，最后求并集得结果；（2）先根据绝对值三角不等式确定方程成立条件：在上恒成立，再根据不等式恒成立条件得结果.【详解】（1）当1时，当时，解得；当时，解得；当时，解得(舍)；综上，原不等式的解集为（2）恒成立，由绝对值不等式等号成立条件可知：在上恒成立，或的取值范围为【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等基础知识：考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想