1、第六节正弦定理和余弦定理 考纲传真掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 (对应学生用书第50页) 基础知识填充1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式2R.(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C公式变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)sin A，sin B，sin Ccos A；cos B；cos C2. 在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解
2、的个数一解两解一解一解3. 三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)知识拓展1三角形内角和定理在ABC中，ABC；变形：.2三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(2)sincos ；(4)cossin .3在ABC中，sin Asin BABabcosAcos BABab基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，若AB，则必有sin Asin B()(2)在ABC中，若b2c2a2，则ABC为
3、锐角三角形()(3)在ABC中，若A60，a4，b4，则B45或135.()(4)在ABC中，.()解析(1)正确ABabsin Asin B(2)错误由cos A0知，A为锐角，但ABC不一定是锐角三角形(3)错误由ba知，BA(4)正确利用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，可知结论正确答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定C由正弦定理，得sin A，sin B，sin C，代入得到a2b2c2，由余弦定理得cos C0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角
4、形3(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos A，则b()AB C2D3D由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)，故选D4(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C已知C60，b，c3，则A_.75如图，由正弦定理，得，sin B.又cb，B45，A180604575.5在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_. 【导学号：00090109】2由题意及余弦定理得cos A，解得c2，所以Sbcsin A42sin 602.(对应学生用书第51页)利用正、余弦定理解三角形(1)(2017全国卷)ABC的内角
5、A，B，C的对边分别为a，b，C已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()ABCD(2)在ABC中，BAC，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长B(1)因为a2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin C又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C为ABC的内角，故sin C0，则sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.从而sin Cs
6、in A.由A知C为锐角，故C.故选B(2)设ABC的内角BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理得sin B，由题设知0B，所以cos B.在ABD中，因为ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得AD.规律方法1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的2(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，
7、注意“大边对大角”在判定中的应用变式训练1(1)(2017郑州模拟)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边， 且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，则角B的大小为()A30B45C60D120(2)(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.(1)A(2)(1)由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，a2c2b2aC又cos B，cos B，B30.(2)在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC
8、)sin Acos Ccos Asin C.又，b.判断三角形的形状(1)(2017东北三省四市二联)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acos Abcos B，则ABC的形状为() 【导学号：00090110】A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形(2)(2018广州模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2c2a2bc，若sin Bsin Csin2A，则ABC的形状是()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形(1)D(2)C(1)因为acos Abcos B，由正弦定理得sin Acos Asin Bcos B
9、，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D(2)由b2c2a2bc得cos A.A(0，)，A.由sin Bsin Csin2A得bca2，代入b2c2a2bc得(bc)20，即bc，从而ABC是等边三角形规律方法1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能变式训练2设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos Bsin
10、 C，那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形B法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB，所以AB法二：由正弦定理得2acos Bc，再由余弦定理得2aca2b2aB与三角形面积有关的问题(2015全国卷)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C(1)若ab，求cos B；(2)设B90，且a，求ABC的面积解(1)由题设及正弦定理可得b22aC2分又ab，可得b2c，a2C由余弦定理可得cos B.5分(2)由(1)知b22aC7分
11、因为B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca.9分所以ABC的面积为1.12分规律方法三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化变式训练3(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)C(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，3分故2sin Ccos Csin C可得cos C，所以C.5分(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.9分由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.12分