1、2012-2013学年湖北省宜昌市长阳一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1（5分）若f（x0）=2，则等于（）A2B2CD考点：导数的几何意义专题：计算题分析：由导数的定义知f（x0）=，由此能够求出的值解答：解：f（x0）=2故选A点评：本题考查导数的概念和极限的运算，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题2（5分）执行如图所示的程序框图，若输人的x的值为2，则输出的x的值为（）A23B16C11D5考点：程序框图专题：图表型分析：n=1，
2、满足条件n3，执行循环体，依此类推，当x=23，n=4，此时不满足条件n3，退出循环体，从而得到所求解答：解：若输人的x的值为2，n=1，满足条件n3，执行循环体，x=5，n=2，满足条件n3，执行循环体，x=11，n=3，满足条件n3，执行循环体，x=23，n=4，不满足条件n3，退出循环体，此时x=23故选A点评：根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高
3、度重视，属于基础题3（5分）有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的表面积及体积分别为（）A24cm 2，12cm3B15cm 2，12cm3C24cm 2，36cm3D以上都不正确考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图及其尺寸，我们易判断这个几何体是圆锥，且底面直径为6，圆锥的母线长为5，代入圆锥的表面积和体积公式，我们易得结论解答：解：由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5，则圆锥的底面积S底面=r2=9侧面积S侧面=rl=15，故几何体的表面积S=9+15=24cm2，又由圆锥的高h=4，故
4、V=S底面h=12cm3故选A点评：本题考查的知识点是由三视图求面积和体积，根据三视图判断几何体的底面半径和母线长是解答本题的关键4（5分）已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2X4）=0.6826，则P（X4）=（）A0.1588B0.1587C0.1586D0.1585考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题：计算题分析：根据题目中：“正态分布N（3，1）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由（2X4）的概率可求出P（X4）解答：解：P（3X4）=P（2X4）=0.3413，观察上图得，P（X4）=0.5P（3X4）=0.50.3413=0.1587故选B点评：本题主要考
5、查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题5（5分）在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第6项是（）ABCD考点：二项式系数的性质专题：计算题分析：由展开式中只有第5项的二项式系数最大可求得n值，根据二项展开式的通项公式可求得展开式中的第6项解答：解：因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以+1=5，解得n=8，则展开式中的第6项T5+1=，故选C点评：本题考查二项式系数的性质，考查二项展开式的通项公式，熟练掌握相关公式、性质是解决该类题目的基础6（5分）（2011辽宁）从1.2.3.4.5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和
6、为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）ABCD考点：条件概率与独立事件专题：计算题分析：用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）=即可求得结果解答：解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），p（A）=，事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），P（AB）=P（B|A）=故选B点评：此题是个基础题考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度7（5分）（2009山东）某工厂对一
7、批产品进行了抽样检测如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106，样本数据分组为96，98），98，100），100，102），102，104），104，106，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A90B75C60D45考点：频率分布直方图；收集数据的方法专题：图表型分析：根据小长方形的面积=组距求出频率，再根据求出频数，建立等式关系，解之即可解答：解：净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数设为N2，产品净重小于100克的个数设为N1=36，样本容量为N，则
8、，故选A点评：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计，频率分布直方图：小长方形的面积=组距，各个矩形面积之和等于1，即，属于基础题8（5分）（2009陕西）设曲线y=xn+1（nN*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2xn的值为（）ABCD1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率专题：计算题；压轴题分析：欲判x1x2xn的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决解答：解：对y=xn+1（nN*）求导得y=（n+1）
9、xn，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y1=k（xn1）=（n+1）（xn1），不妨设y=0，则x1x2x3xn=，故选B点评：本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题9（5分）（2007湖北）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为，则的概率是（）ABCD考点：数量积表示两个向量的夹角；等可能事件的概率专题：计算题；压轴题分析：由题意知本题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大部分内容考查的
10、是向量的问题，这是一个综合题解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数66，m0，n0，=（m，n）与=（1，1）不可能同向夹角0（0，】0，mn0，即mn当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1满足条件的事件数6+5+4+3+2+1概率P=故选C点评：向量知识，向量观点在数学物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点10（5分）（20
11、13长春一模）如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，且AB=2AD，设DAB=，（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A随着角度的增大，e1增大，e1e2为定值B随着角度的增大，e1减小，e1e2为定值C随着角度的增大，e1增大，e1e2也增大D随着角度的增大，e1减小，e1e2也减小考点：椭圆的简单性质专题：计算题；压轴题分析：连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1=，最后根据余弦函数的单调性可判断e1的单调性；同样表示出椭圆中的c和a表示出e
12、2的关系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的关系解答：解：连接BD，AC设AD=t则BD=双曲线中a=e1=y=cos在（0，）上单调减，进而可知当增大时，y=减小，即e1减小AC=BD椭圆中CD=2t（1cos）=2cc=t（1cos）AC+AD=+t，a=（+t）e2=e1e2=1故选B点评：本题主要考查椭圆和双曲线的离心率的表示，考查考生对圆锥曲线的性质的应用，圆锥曲线是高考的重点每年必考，平时要注意基础知识的积累和练习二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11（5分）（2011长春模拟）命题“xR，2x23ax+90”为假命题，则实数a的取值范围为2，2考点：命题的
13、真假判断与应用；函数恒成立问题分析：它的否命题“xR，2x23ax+90”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需0解答：解：原命题的否命题为“xR，2x23ax+90”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需=9a24290，解得：2a2故答案为：2，2点评：存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定注意“恒成立”条件的使用12（5分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题分析：求出曲线方程的导函数，根据切线的方程找出切线的斜
14、率，令导函数等于斜率列出关于x的方程，求出方程的解即为切点的横坐标解答：解：求导函数得：y=（x0），又由曲线的一条切线的斜率为，令=即（x3）（x+2）=0，解得x=3，x=2（不合题意，舍去），则切点的横坐标为3故答案为：3点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题学生在求出x的值后，注意隐含的条件函数的定义域x0，舍去不合题意的x的值13（5分）（2011重庆）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率专题：计算题分析：本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正面出现的次数比反面出现的
15、次数多包括三种情况，正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，写出概率，得到结果解答：解：由题意知本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是+=故答案为：点评：本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，解题的关键是看清题目所给的条件符合什么规律，在按照规律解题14（5分）的展开式中x2项的系数是15，则a的值为5
16、考点：二项式系数的性质专题：计算题分析：要求的展开式中x2项的系数，只要求出（1+）5的展开式中含x2的项及含x的项的系数，然后合并同类项可求，然后令其为15，即可解得a值解答：解：（+1）5的展开式的通项Tr+1=C5r（）5r，令5r=2可得r=3，此时T4=C53x=10x，令5r=4可得r=1，此时T2=C51x2=5x2，（ax）（1+）5展开式中x2项系数为：5a10=15，解得a=5故答案为：5点评：新课标下，二项式问题只是2011年考查过二项式的通项公式和求展开式各项系数和，是必须掌握的知识15（5分）正四面体（即四条棱均相等的三棱锥）的4个面上分别写有数字1，2，3，4，将3
17、个这样大小相同、质地均匀的正四面体同时投掷于桌面上记为与桌面接触的3个面上的3个数字中最大值与最小值之差的绝对值，则随机变量的期望E等于考点：离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：用列举法得到所有基本事件，找出所有求的可能事件包括的基本事件及其概率，再利用数学期望的计算公式即可得出解答：解：的可能取值为0，1，2，3与桌面接触的3个面上的3个数字共有43=64个基本事件当与桌面接触的3个面上的3个数字相同时，包括4个基本事件：（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），（4，4，4），即=0=|11|=|44|，P（=0）=；当与桌面接触的3个面上的3个数字相差2时，包括以下24
18、个基本事件：（1，1，3），（1，3，1），（3，1，1），（3，3，1），（3，1，3），（1，3，3），（2，2，4），（2，4，2），（4，2，2），（2，4，4），（4，2，4），（4，4，2），（1，2，3），（3，2，1），（2，3，4），（4，3，2），P（=2）=；当与桌面接触的3个面上的3个数字相差3时，包括以下18个基本事件：（1，1，4），（1，4，1），（4，1，1），（4，4，1），（4，1，4），（1，4，4），（4，2，1），（2，4，1），（4，1，2），（2，1，4），（1，2，4），（1，4，2）（4，3，1），（3，4，1），（4，1，3），（3，1，4）
19、，（1，3，4），（1，4，3）P（=3）=；当与桌面接触的3个面上的3个数字相差1时，P（=1）=的分布列如下表：E=故答案为点评：熟练得到所有的基本事件和正确得到可能事件包括的基本事件及其概率、数学期望的计算公式是解题的关键三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16命题p：xR，使得x2+（a1）x+10，命题q：xR，ax2+x+10恒成立若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围考点：复合命题的真假专题：阅读型分析：根据题意分析：xR，使得x2+（a1）x+10的条件与ax2+x+10恒成立的条件，求出命题P，命题q为真命题的a的范围；再
20、根据复合命题的真值表，结合数形结合思想求解解答：解：命题p为真，则=（a1）240a3或a1命题q为真，则ap或q为真命题，p且q为假命题，根据复合命题的真值表，命题p和命题q一真一假（1）命题p真，命题q假，则a1（2）命题p假，命题q真，则综合得：a1或点评：本题考查复合命题的真假判断17一个盒内装有2n个白球和（2n1）个黑球，若取两个球中恰一个白球一个黑球的概率为，求（1）一次摸n个球，摸到都是白球的概率（2）一次摸n个球，在已知它们颜色相同的情况下，该颜色是白色的概率考点：古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：（1）利用组合的知识和古典概型的概率计算公式即可得出；（2）利用条
21、件概率的计算公式即可得出解答：解：（1）设“取两个球中恰一个白球一个黑球”为事件A，由题意得P（A）=，化为2n25n+2=0，又nN*，解得n=2盒子共有4个白球和3个黑球设“一次摸2个球都是白球”为事件B，则P（B）=（2）设“一次摸2个球且颜色相同”为事件A，“一次摸2个球且颜色是白色”为事件B则P（B|A）=点评：熟练掌握组合的意义和古典概型的概率计算公式、条件概率的计算公式是解题的关键18如图，在四棱锥ABCDPGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，ABDC，ABC=45，DC=1，AB=2，PA=1（）求PD与BC所成角的大小；（）求证：BC平面PAC；（）求二面角AP
22、CD的大小考点：异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）取的AB中点H，易证PDH为PD与BC所成角，解三角形可得；（2）由已知结合线面垂直的判定可得：（3）坐标法求得平面的法向量，由向量的夹角可得二面角的大小解答：（）取的AB中点H，连接DH，易证BHCD，且BD=CD （1分）所以四边形BHDC为平行四边形，所以BCDH所以PDH为PD与BC所成角（2分）因为四边形，ABCD为直角梯形，且ABC=45，所以DAAB又因为AB=2DC=2，所以AD=1，因为RtPAD、RtDAH、RtPAH都为等腰直角三角形，所以PD=DH
23、=PH=，故PDH=60（4分）（）连接CH，则四边形ADCH为矩形，AH=DC 又AB=2，BH=1在RtBHC中，ABC=45，CH=BH=1，CB=AD=CH=1，AC=AC2+BC2=AB2BCAC（6分） 又PA平面ABCDPABC （7分）PAAC=ABC平面PAC （8分）（）如图，分别以AD、AB、AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（1，0，0），=（0，0，1），=（1，1，1）（9分）设m=（a，b，c）为平面PAC的一个法向量，则，即设a=1，则b=1，m=（1，1，0）（10分）同理设n=（x
24、，y，z） 为平面PCD的一个法向量，求得n=（1，1，1）（11分）所以二面角APCD为60（12分）点评：本题考查立体几何的综合问题，涉及线面角，线面垂直和二面角，属中档题19已知函数f（x）=ax2+2ln（2x）（aR），设曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线为l，若l与圆相切，求a的值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的切线方程专题：计算题分析：利用导数的几何意义求出x=1处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，最后根据圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解之即可解答：解：依题意有：，l的方程为2（a1）xy+2a=0，l与圆相切，a的值为点评：本题主要考查了利用导数研究
25、曲线上某点切线方程，以及圆的切线方程等基础题知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题20某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41乙：10 26 30 30 34 37 44 46 46 47甲乙1234（1）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数进行比较，写出两个统计结论；（2）现苗圃基地将甲、乙两块地的树苗合在一起，按高度分成一、二两个等级，每个等级按不同的价格出售某市绿化部门下属的2个单位计划购买甲、
26、乙两地种植的树苗已知每个单位购买每个等级树苗所需费用均为5万元，且每个单位对每个等级树苗买和不买的可能性各占一半，求该市绿化部门此次采购所需资金总额X的分布列及数学期望值E（X）考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列专题：综合题分析：（1）从茎叶图可以得到甲批树苗比乙批树苗高度整齐；甲批树苗高度大多集中在均值附近，乙批树苗高度分布较分散；甲批树苗平均高度小于乙批树苗的平均高度；甲批树苗高度中位数27，乙批树苗高度中位数28（2）确定X=0，5，10，15，20，设X=5Y，则YB（4，），求出相应的概率，可得分布列与期望解答：解：画出茎叶图如下：（2分）甲地树苗高度
27、的平均数为28cm，乙地树苗高度的平均数为35cm，甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数（4分）甲地树苗高度的中位数为27cm，乙地树苗高度的中位数为35.5cm，甲地树苗高度的中位数小于乙地树苗的高度的中位数（6分）（2）X=0，5，10，15，20，设X=5Y，则YB（4，）（8分）=，=，=，=，=Y的分布列为Y05101520P（10分）E（X）=5E（Y）=5（0+5+10+15+20）=10该市绿化部门此次采购的资金总额X的数学期望值为10万元（12分）点评：求两组数据的平均值和方差是研究数据常做的两件事，平均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，从两个方面可以
28、准确的把握数据的情况21（16分）已知椭圆左右两焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且在x轴上方，PF2F1F2，OHPF1于H，（1）求椭圆的离心率e的取值范围；（2）当e取最大值时，过F1，F2，P的圆Q的截y轴的线段长为6，求圆Q的方程；（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线L上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M，N，试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由考点：圆与圆锥曲线的综合专题：综合题分析：由相似三角形知，2a2b2=b2，2a2=b2（1+），（1）由，知，在上单调递减由此能求出椭圆的离心率e的取值范围（2）当时，所以，2b2=a2由PF2F1F2，知
29、PF1是圆的直径，圆心是PF1的中点，由此能求出圆Q的方程（3）椭圆方程是，右准线方程为，由直线AM，AN是圆Q的两条切线，知切点M，N在以AQ为直径的圆上设A点坐标为，由此能够导出直线MN必过定点解答：解：由相似三角形知，2a2b2=b2，2a2=b2（1+），（1），在上单调递减时，e2最小，时，e2最大，（2）当时，2b2=a2PF2F1F2，PF1是圆的直径，圆心是PF1的中点，在y轴上截得的弦长就是直径，PF1=6又，圆心Q（0，1），半径为3，x2+（y1）2=9（3）椭圆方程是，右准线方程为，直线AM，AN是圆Q的两条切线，切点M，N在以AQ为直径的圆上设A点坐标为，该圆方程为直线MN是两圆的公共弦，两圆方程相减得：，这就是直线MN的方程该直线化为：，直线MN必过定点点评：本题考查直线 和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件
