1、2.12 函数的综合问题巩固夯实基础 一、自主梳理 函数的综合应用的三个重要方面 1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合. 2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容. 3.函数与实际应用问题的综合. 二、点击双基1.函数y=在区间(-,a)上是减函数,则a的取值范围是( )A.(-,0) B.(-,-1) C.0,+) D.-1,+)解析：此函数的定义域是(-,-1)(-1,+),则(-,a)(-,-1),即a-1.答案：B2.设A是直角坐标平面上所有的点所组成的集合,如果由A到A的映射f:AA,
2、使象集合的元素(y-1,x+2)和原象集合的元素(x,y)对应,那么象点(3,-4)的原象点是( )A.(-5,5) B.(4,-6) C.(2,-2) D.(-6,4)解析：设象(3,-4)的原象是(x,y),依题意,有 解得答案：D3. (理)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+),且f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(2 005)+f(2 006)等于( )A.-2 B.-1 C.0 D.1解析:f(x)=-f(x+)=-f(x+)=f(x+3), f(x)的周期为3. 又f(1)=f(-2+3)=f(-2)=-1,f(2)=f(-1+3
3、)=f(-1)=-1,f(3)=f(0+3)=f(0)=2, 从而f(1)+f(2)+f(3)=0.故f(1)+f(2)+f(2 005)+f(2 006)=f(2 005)+f(2 006)=f(3668+1)+f(3668+2)=f(1)+f(2)=-2.选A.答案:A(文)已知f(x)=sin(x+1)-3cos(x+1),则f(1)+f(2)+f(2 005)+f(2 006)等于( )A.2 B. C.1 D.0解析:f(x)=2sin(x+1)-=2sinx.周期T=6,且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0. f(1)+f(2)+f(2 005)+f(2
4、 006)=f(2 005)+f(2 006)=f(6334+1)+f(6334+2)=f(1)+f(2)=2+2=2.选A.答案:A4.已知f(x)=ax+loga(x+1)在0,1上的最大值与最小值之和为a,则a的值为_.解析：f(x)为单调函数,f(0)+f(1)=a. 1+loga1+a+loga2=a.a=.答案:诱思实例点拨 【例1】 已知f(x)是R上的偶函数，且f(2)=0,g(x)是R上的奇函数，且对于xR，都有g(x)=f(x-1)，求f(2 002)的值.解:由g(x)=f(x-1),xR,得f(x)=g(x+1). 又f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x), 故有
5、f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=g(x-3)=f(x-4),也即f(x+4)=f(x),xR. f(x)为周期函数，其周期T=4. f(2 002)=f(4500+2)=f(2)=0.讲评:应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.【例2】 某房屋开发公司用128万元购得一块土地,欲建成不低于5层的楼房一幢.该楼每层的建筑面积为1 000 m2,楼房的总建筑面积(各层面积之和)每平方米的平均建筑费用与楼层有关,若该楼建成x层时,每平方米平均建筑费用用f(x)表示,已知建成n2层时每平方米所需费用与建成n1层时每平方米所需费
6、用有如下关系:f(n2)=f(n1)(1+)(其中n2n1,且n1、n2N*).又知建成五层楼时,每平方米的平均费用为400元,为了使该楼每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和),公司应把该楼建成几层?剖析:解决本题首先要弄清题意,明白实际问题的意义,题中的几个关系应特别注意,开发公司要建每层建筑面积为1 000 m2的楼房一幢,楼层不低于5层,每平方米的综合费用由两部分组成:一是购地费用;二是建筑费用,其中购地费用可由购地用款128万元和建筑面积求得,建筑费用可由递推关系式及建成5层楼时每平方米建筑费用400元得到,于是得到每平方米所需综合费用的关于楼层的函数关系式.解:设
7、楼层为x层,则每平方米的购地费用为(元). 依题意,得f(5)=400,f(x)=f(5)(1+)=400(1+). 所以每平方米的综合费用y=f(x)+=400(1+)+=20(x+)+300. 因为该函数在(0,8)上单调递减,在(8,+)上单调递增, 故当该楼建成8层时,每平方米的综合费用最省.链接提示 函数f(x)=x+(c0)是一类重要函数,是各类考试的重点考查内容,需引起重视.【例3】 函数f(x)的定义域为R，且对任意x、yR,有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x0时,f(x)0,f(1)=-2.(1)证明f(x)是奇函数；(2）证明f(x)在R上是减函数；(3）求f(x)
8、在区间-3，3上的最大值和最小值.(1)证明:由f(x+y)=f(x)+f(y),得fx+(-x)=f(x)+f(-x), f(x)+f(-x)=f(0). 又f(0+0)=f(0)+f(0), f(0)=0. 从而有f(x)+f(-x)=0. f(-x)=-f(x). f(x)是奇函数.(2）证明:任取x1、x2R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)-fx1+(x2-x1)=f(x1)-f(x1)+f(x2-x1)=-f(x2-x1). 由x10. f(x2-x1)0,即f(x1)f(x2),从而f(x)在R上是减函数.(3)解:由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在-3，3
9、上的最大值是f(-3),最小值是f(3).由f(1)=-2,得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3(-2)=-6,f(-3)=-f(3)=6.从而最大值是6，最小值是-6.链接拓展 对于任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a、b、c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零实数m,使得对于任意实数x,都有x*m=x,试求m的值. 提示:由1*2=3,2*3=4,得 b=2+2c,a=-1-6c. 又由x*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立, b=0=2+2c. c=-1.(-1-6c)+cm=1. -1+6-m=1.m=4.答案:4.
