1、2.10 函数的最值巩固夯实基础 一、自主梳理 求函数最值的常用方法有: 1.配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值. 2.判别式法:若函数y=f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,则在a(y)0时，由于x、y为实数，故必须有=b2(y)-4a(y)c(y)0,从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值. 3.不等式法:利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值. 4.换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. 5.数
2、形结合法:利用函数图象或几何方法求出函数的最值. 6.函数的单调性法. 闭区间上的增函数或减函数的端点值即为函数的最值. 二、点击双基1.函数f(x)=的最大值是( )A. B. C. D.解析:1-x(1-x)=1-x+x2=(x-)2+， f(x)=,f(x)max=.答案:D2.若x2+y2=1,则3x-4y的最大值为( )A.3 B.4 C.5 D.6解析:x2+y2=1, 可设x=cos,y=sin. 3x-4y=3cos-4sin=5sin(+)5.答案:C3.函数y=-x2-2ax(0x1)的最大值是a2,则实数a的取值范围是( )A.0a0,y0且3x+2y=12,则xy的最大
3、值是_.解析:x0,y0, 3x2y()2=62xy6(当且仅当3x=2y时等号成立).答案:65.对任意实数x,函数f(x)取x、2x-1、7-x三者中的最小值,那么f(x)的最大值是_.解析:画图,通过数形结合易知最大值为3.5.答案:3.5诱思实例点拨 【例1】设a、bR,a2+2b2=6,则a+b的最小值是( )A.-2 B.- C.-3 D.-解析:a2+2b2=6,+=1. 设a=sin,b=cos,(0,2), a+b=sin+cos=3sin(+)(其中tan=). a+b的最小值为-3.答案:C【例2】 设f(t)=g(t)=-t+(0t40,tN*).求S=f(t)g(t)
4、的最大值.解:当0t20时，S=(t+11)(-t+)=-(t+22)(t-43). =10.5,又tN, t=10或11时,Smax=176. 当20t40时，S=(-t+41)(-t+)=(t-41)(t-43). t=20时,Smax=161. 综上所述，S的最大值是176.【例3】某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位:m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)解:由题意得xy+x=8, y=(0x4). 于是,框架用料长度为 L=2x+2y+2()=(+)x+2=4 当且仅当(+)x=，即x=8-4，等号成立. 此时，x2.343,y=22.828. 故当x为2.343 m,y为2.828 m时，用料最省.
