1、湖北省荆门市2020届高三数学模拟试题 理全卷满分150分，考试用时120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知i是虚数单位，若复数，则=A. 1i B. 1+i C. 1i D.1+i2. 已知集合，则A. B. C. D.3. 已知等差数列，其前项和为，且，则A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 2019冠状病毒病（Corona Virus Disease 2019（COVID-19）是由新型冠状病毒（201
2、9-nCoV）引发的疾病，目前全球感染者以百万计.我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习.小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:005:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:305:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为A. B. C. D.6. 已知表示不超过的最大整数（如，），执行如图所示的程序框图输出的结果为 A. B. C. D.7. 在二项式的展开式中有理项的项数
3、为A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 函数的图像大致为 A B C D 9. 已知定义在上的函数是偶函数，且图像关于点对称.若当时，则函数在区间上的零点个数为A.1009 B.2019 C.2020 D.403910. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是A. ( B. ( C. D.11. 已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的右支交于点，若,则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 12.已知正方体的棱长为1,是空间中任意一点，下列正确命题的个数是若为棱中点，则异面直线与所成角的正切值为;若在线段上运动，则的最小值为；若在半圆弧上运动，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的表面积为；若
4、过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为. A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 已知，则向量在向量方向上的投影为_.14. 一般都认为九章算术是中国现存最古老的数学著作。然而，在1983年底到1984年初，在荆州城西门外约1.5公里的张家山247号墓出土的算数书，比现有传本九章算术还早二百年。某高校数学系博士研究生5人，现每人可以从算数书、九章算术、周髀算经、孙子算经、缀术等五部著作中任意选择一部进行课题研究，则恰有两部没有任何人选择的情况有_种.（请用数字作答）15. 已知曲线的焦点为，点在曲线上运动
5、，定点，则的最小值为_.16. 定义：若数列满足，则称该数列为“切线零点数列”.已知函数有两个零点1,2，数列为“切线零点数列”，设数列满足，数列的前项和为，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（本题12分）已知的内角所对的边是，且满足.（1）求角；（2）若，求的最大值.18.（本题12分）在平行四边形EABC中，EA4，EC2，E45，D是EA的中点(如图1)将ECD沿CD折起到图2中PCD的位置，得到四棱锥PABCD.(1)求证：CD平面PDA
6、；(2)若PD与平面ABCD所成的角为60，且PDA为锐角三角形，求平面PAD和平面PBC所成锐二面角的余弦值19. （本题12分）某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号.当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求.在学期末，校学生会为了调研学生对本校食堂A部和B部的用餐满意度，从在A部和B部都用过餐的学生中随机抽取了200人，每人分别对其评分，满分为100分.随后整理评分数据，将分数分成6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到A部分数的频率分布直方图和B部分数的频数分布表.分数区间频数40,50）750,60）1860,
7、70）2170,80）2480,90）7090,10060定义：学生对食堂的“满意度指数”分数40,50）50,60）60,70）70,80）80,90）80,100满意度指数012345（1）求A部得分的中位数（精确到小数点后一位）；（2）A部为进一步改善经营，从打分在80分以下的前四组中，采用分层抽样的方法抽取8人进行座谈，再从这8人中随机抽取3人参与“端午节包粽子”实践活动，在第3组抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率；（3）如果根据调研结果评选学生放心餐厅，应该评选A部还是B部（将频率视为概率）.20.（本题12分）已知椭圆的左焦点为，点，过的直线与椭圆交于两点，线段中点为，设椭圆在
8、两点处的切线相交于点，为坐标原点.（1）证明：、三点共线；（2）已知是抛物线的弦，所在直线过该抛物线的准线与轴的交点，是弦在两端点处的切线的交点，小明同学猜想：在定直线上.你认为小明猜想合理吗？若合理，请写出所在直线方程；若不合理，请说明理由.21. （本题12分）设函数.（1） 讨论的单调性；（2） 设若在上恒成立，求的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修4-4：坐标系与参数方程（本题10分）在平面直角坐标系，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线的参数方程为（为参数）.(1
9、) 求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；(2) 设点的直角坐标为，直线与曲线相交于两点，求23. 选修4-5：不等式选讲（本题10分）已知函数，记的最小值.(1) 解不等式；(2) 若，求的最小值.2020年荆门市高三年级高考模拟考试理科数学参考答案及评析 123456789101112BCDACDDDBDCC13. 14. 1500 15. 16. 1.【解析】因此选B.【微评】考查复数相关的概念及运算2.【解析】因此选C.【微评】考查解不等式（分式不等式、对数不等式）、集合的运算3.【解析】因此选 D.【微评】考查等差数列及其前项和的性质4.【解析】法1：对，有，当且仅当时取等，故当，是
10、的充分条件.反之，若，特别的，则，所以不是的必要条件. 法2：画出两个不等式所表示的平面区域，如图所示，表示的平面区域为曲线上方的部分，表示的平面区域为直线右上方的部分.因此选A.【微评】考查基本不等式、简易逻辑、特值法、数形结合5.【解析】记快递员讲快递送到小区的时刻为，小李同学父亲到小区时刻为，则所有事件构成区域为，记“小李同学父亲收到快递无需等待”为事件，则事件构成区域满足，所以小李同学父亲收到快递无需等待的概率，因此选C.【微评】考查几何概型6. 【解析】因此选D.【微评】考查算法、等差数列求和7.【解析】该二项展开式的通项为.当时，为有理项，共有4项.因此选D.【微评】考查二项式定理
11、8. 【解析】满足是偶函数，故排除B，当时，故在上单调递增，又，因此选D.【微评】考查导数的应用、函数的图像和性质9.【解析】在上的零点个数即为和的图像在上的交点个数.是偶函数，关于对称，可得函数周期为4，又当时，做出和的部分图像如图所示，由图像可知，每个周期内两个函数的交点由2个，但是在上只有1个交点，故一共有个零点.故选B.【微评】考查函数的性质、图像、零点等知识10.【解析】，令，且当时，令得或，由，时，结合图像，当时，.因此，选D.【微评】考查同角三角函数的基本关系、三角函数的性质、二次函数.11.【解析】设双曲线的左焦点为,则，故为直角三角形，根据题意，设,则，解得（舍负值），即,又
12、，.，得离心率.故选C.【微评】考查双曲线的定义，几何性质12.【解析】 图（1） 图（2） 图（3） 图（4）对于，如图（1）,由ABCD,可知BAE即为异面直线AE与CD所成的角.设正方体的棱长为2,连接BE,则在RtABE中,AB=2,BE=,tanBAE=,正确对于，如图（2）,将三角形AA1B与四边形A1BCD1沿A1B展开到同一个平面上,如图所示.由图可知,线段AD1的长度即为AP+PD1的最小值.在AA1D1中,利用余弦定理可得AD1=,错误对于，如图（3），当为中点时，三棱锥体积最大，此时，三棱锥的外接球球心是AC中点，半径为，其表面积为.正确对于，如图（4），平面与正方体的每
13、条棱所在直线所成的角都相等,只需与过同一顶点的三条棱所成的角相等即可,如图,AP=AR=AQ,则平面PQR与正方体过点A的三条棱所成的角相等.若点E,F,G,H,M,N分别为相应棱的中点,可得平面EFGHMN平行于平面PQR,且六边形EFGHMN为正六边形.正方体棱长为1,所以正六边形EFGHMN的边长为,可得此正六边形的面积为,为接面最大面积.故正确的命题有3个.【微评】考查立体几何13.【解析】向量在向量方向上的投影即【微评】考查平面向量坐标运算、数量积、投影14.【解析】【微评】排列组合综合应用15.【解析】设，时，时，有当且仅当时取等.的最小值为.【微评】抛物线、基本不等式16. 【解
14、析】有两个零点1,2.由题意，又，数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，.【微评】导数、对数运算、零点、数列递推关系、等比数列等综合考查17. 【解析】（1）由，根据正弦定理得， ，即由余弦定理得，又，. 6分（2） 由可知，是中点，在中，即在中，即又，则由（1）及得当且仅当时，等号成立. 10分的最大值为. 12分【微评】考查应用正定理、余弦定理解三角形、基本不等式18.【解析】(1)将ECD沿CD折起过程中，CD平面PDA成立证明如下：D是EA的中点，EA4，DEDA2，在EDC中，由余弦定理得，CD2EC2ED22ECEDcos 45842224，CD2ED，CD2DE28EC2，ED
15、C为等腰直角三角形且CDEA，CDDA，CDPD，PDADD，CD平面PDA. 5分(2)由(1)知CD平面PDA，CD平面ABCD，平面PDA平面ABCD，PDA为锐角三角形，P在平面ABCD内的射影必在棱AD上，记为O，连接PO，PO平面ABCD，则PDA是PD与平面ABCD所成的角，PDA60，DPDA2，PDA为等边三角形，O为AD的中点，故以O为坐标原点，过点O且与CD平行的直线为x轴，DA所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设x轴与BC交于点M，DAPA2，OP，易知ODOACM1，BM3，则P(0，0，)，D(0，1，0)，C(2，1，0)，B(2，3
16、，0)，(2，0，0)， (0，4，0)， (2，1，)，CD平面PDA，可取平面PDA的一个法向量(1，0，0)，设平面PBC的法向量(x2，y2，z2)，则,即令z21，则为平面PBC的一个法向量， 9分设平面PAD和平面PBC所成的角为，由图易知为锐角，cos|cos|.平面PAD和平面PBC所成角的余弦值为. 12分【微评】综合考查立体几何19.【解析】（1）由，得.1分设部得分的中位数为，则，得部得分的中位数为82.2 3分（2）第1,2,3,4组的人数分别为10,10,20,40，从第1,2,3,4组采用分层抽样方法抽取8人，则从第1,2,3,4组应分别抽取的人数为1,1,2,4.
17、 4分从8人中抽取3人，记第3组抽到1人为事件第4组抽到2人为事件.则,即在第3组抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率为.7分（3） 记对部评价的满意度指数为随机变量，则的分布列为0123450.050.050.10.20.450.15 9分记对部评价的满意度指数为随机变量，则的分布列为012345 11分,故应该评选A部为学生放心餐厅. 12分【微评】综合考查概率统计20.【解析】（1）设，直线的方程为联立，消去整理得， 由，得或 1分由椭圆对称性，设是椭圆在轴上方的任意一点，则由得，所以在处的切线斜率为，故在处切线方程为，结合化简得 3分切线方程为：，同理，联立两切线方程消去得， 4分联
18、立解得， 5分由中点及可得 6分 、三点共线. 7分（2） 合理，在直线上. 8分证明如下：设，直线斜率一定存在，联立消去得， 9分由得，抛物线在处的切线方程为，同理在处的切线方程为 11分联立解得，故在直线上. 12分【微评】综合考查解析几何21. 【解析】（1）定义域为， 1分当时，在上恒成立，此时在上单递增；2分当时，令得或（舍去） 当时，此时单调递减当时，此时单调递增 3分综上：当时，在上单递增当时，在上单调递减在上单调递增 4分（2） 由题意，在上恒成立.若，令，则，在上单调递增，成立，故时，成立. 7分若时，令在上单调递增，即有.，即要使成立，必有成立.由（1）可知，时，又，则必有，得 9分此时，令即恒成立，故在上单调递增， 11分故时，成立.综上，的取值范围是 12分【微评】综合考查导数的应用22.【解析】（1）由得，所以曲线的直角坐标方程为由消去得所以直线的普通方程为5分（2）点在直线上，设直线的参数方程为（为参数）设点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入，得，10分【微评】考查极坐标参数方程23.【解析】.（1），不等式等价于或或解得，即不等式的解集为 5分（2）当且仅当时，等号成立.，当且仅当时，等号成立.10分【微评】考查不等式选讲(3)
