1、规范练(五)圆锥曲线1如图，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：1(ab0)上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合(1)求椭圆C的方程；(2)求证：直线AB、AD的斜率之和为定值(1)解由题意，可得e，将(1，)代入1，得1，又a2b2c2，解得a2，b，c，所以椭圆C的方程为1.(2)证明设直线BD的方程为yxm，又A、B、D三点不重合，所以m0.设D(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x22mxm240，所以8m2640，2m2，x1x2m，x1x2.设直线AB、AD的斜率分别为kAB、kAD，则kADkAB2m(*)将式代入(*)，得2m220，所以
2、kADkAB0，即直线AB、AD的斜率之和为定值0.2椭圆M：1(ab0)的离心率为，且经过点P.过坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上，l1与椭圆M交于A，C两点，l2与椭圆M交于B，D两点(1)求椭圆M的方程；(2)若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值解(1)依题意有又因为a2b2c2，所以.故椭圆M的方程为y21.(2)设直线AC：yk1x，直线BD：yk2x，A(xA，yA)，C(xC，yC)联立，得方程(2k1)x220，xx，故|OA|OC|.同理，|OB|OD|.又因为ACBD，所以|OB|OD|，其中k10.从而菱形ABCD的面积S2|OA|OB|2，整理得
3、S4，其中k10.故当k11或1时，菱形ABCD的面积最小，该最小值为.3已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且2.(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围解(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上 ，设椭圆方程为1(ab0)，由题意知a2，bc，又a2b2c2，则b，所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立，即则(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)0，由根与系数的关系知又2，
4、即有(x1，my1)2(x2，y2m)x12x2，22，整理得(9m24)k282m2，又9m240时不成立，k20，得m24，此时0.m的取值范围为.4已知ABC的两顶点坐标A(1,0)，B(1,0)，圆E是ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.(1)求曲线M的方程；(2)设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程解(1)由题知|CA|CB|CP|CQ|AP|BQ|2|CP|AB|4|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)，设曲线M：1(ab0，y0)，则a24，b2a2()23，所以曲线M：1(y0)为所求(2)注意到直线BC的斜率不为0，且过定点B(1,0)，设lBC：xmy1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由消x得(3m24)y26my90，所以y1,2，所以因为(my12，y1)，(my22，y2)，所以(my12)(my22)y1y2(m21)y1y22m(y1y2)44.注意到点A在以CD为直径的圆上，所以0，即m，所以直线BC的方程3xy30或3xy30为所求
