1、数系的扩充与复数的引入考试要求1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义1复数的有关概念(1)复数的定义形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.(2)复数的分类(3)复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)(4)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)(5)复数的模向量的模叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|r(r0，a，bR)2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(
2、a，bR)平面向量.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)1(1i)22i；i；i.2i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)3z|z|2|2，|z1z2|z1|z2|，|zn|z|n.一、易错易误辨析(正
3、确的打“”，错误的打“”)(1)若aC，则a20.()(2)已知zabi(a，bR)，当a0时，复数z为纯虚数()(3)复数zabi(a，bR)的虚部为bi.()(4)方程x2x10没有解()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1设z(1i)(2i)，则复数z在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限Az(1i)(2i)3i，故复数z在复平面内所对应的点(3,1)位于第一象限2在复平面内，向量对应的复数是2i，向量对应的复数是13i，则向量对应的复数是()A12i B12iC34i D34iD13i2i34i，故选D.3设复数z满足i，则|z|等于()A1
4、 B C D2Ai，则zi，|z|1.4已知(12i)43i，则z_.2i由(12i)43i得2i. z2i. 考点一复数的有关概念 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式zabi(a，bR)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数复数z1abi与z2cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(3)复数是实数的条件：zabiRb0(a，bR)；zRz；zRz20.(4)复数是纯虚数的条件：zabi是纯虚数a0且b0(a，bR)；z是纯虚数z0(z
5、0)；z是纯虚数z20.1(2020广州模拟)如果复数z，则()Az的共轭复数为1i Bz的虚部为iC|z|2 Dz的实部为1Dz1i，z的实部为1，故选D.2(2020大连模拟)设(12i)xxyi，其中x，y是实数，i为虚数单位，则()A1 B C DD由x2xixyi，x，yR，则y2x，|2i|，故选D.3如果复数是纯虚数，那么实数m等于()A1 B0 C0或1 D0或1D，因为此复数为纯虚数，所以解得m1或0，故选D. 考点二复数的运算 复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类
6、同类项，分别合并即可(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式典例1(1)对于两个复数1i，1i，有下列四个结论：1；i；1；220，其中正确结论的个数为()A1 B2 C3 D4(2)(2020武汉调研)已知复数z满足z|z|1i，则z()Ai Bi C1i D1i(1)C(2)B(1)(1i)(1i)2，不正确；i，正确；|i|1，正确；22(1i)2(1i)22i2i0，正确(2)设zabi(a，bR)，则z|z|(a)bi1i，所以解得所以zi，故选B.点评：(1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；(2
7、)在z，|z|中至少含有两个的复数方程中，可设zabi，a，bR，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.1(2020全国卷)若(1i)1i，则z()A1i B1i Ci DiD (1i)1i，i，zi，故选D.2(2020全国卷)若z1i，则|z22z|()A0 B1 C D2D法一：z1i，|z22z|(1i)22(1i)|2i2i2|2|2.故选D.法二：z1i，|z22z|z|z2|1i|2.故选D. 考点三复数的几何意义 与复数几何意义相关的问题的一般解法典例2(1)(2019全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y
8、)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21(2)(2020黄冈模拟)已知i是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点的坐标为()A(0,1) B(1,0)C(1,0) D(0，1)(3)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3,1) B(1,3)C(1，) D(，3)(1)C(2)A(3)A(1)由题意可知zxyi，所以|zi|x(y1)i|1.x2(y1)21.故选C.(2)i，该复数在复平面上所对应的点的坐标为(0,1)，故选A.(3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m3，m1)，所以解得3m1
9、，故选A.点评：复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数z1z2对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限D由已知(2，1)，(0,1)，所以z12i，z2i，z1z212i，它所对应的点为(1，2)，在第四象限2(2020全国卷)设复数z1，z2满足|z1|z2|2，z1z2i，则|z1z2|_.2设z1x1y1i(x1，y1R)，z2x2y2i(x2，y2R)，则由|z1|z2|2，得xyxy4.因为z1z2x1x2(y1y2)ii，所以|z1z2|2(x1x2)2(y1y2)2xyxy2x1x22y1y282x1x22y1y2()2124，所以2x1x22y1y24，所以|z1z2|x1x2(y1y2)i|2.