1、河南省郑州四中2013届高三12月调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）1（5分）已知集合A=x|y=lnx，集合B=2，1，1，2，则AB=（）A（1，2）B1，2C1，2D（0，+）考点：交集及其运算3930094专题：计算题分析：集合A表示的是对数函数的定义域，令真数大于0求出A，利用交集的定义求出AB解答：解：A=x|y=lnx=x|x0又B=2，1，1，2，AB=1，2故选B点评：本题考查求对数函数的定义域、考查利用交集的定义求集合的交集2（5分）若复数3+（a1）i=b2i（a，b
2、R），则复数z=a+bi对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义3930094专题：计算题分析：由复数相等的定义可得，解之可得复数z，进而可得对应点所在的象限解答：解：由复数相等的定义可得，解得，故复数z=a+bi=1+3i，故其对应的点在第二象限，故选B点评：本题考查复数相等的定义和几何意义，属基础题3（5分）已知数列an，若点（n，an）（nN*）在经过点（8，4）的定直线l上，则数列an的前15项和S15=（）A12B32C60D120考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质3930094专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由题意可得a
3、8=4，然后利用等差数列的求和公式=15a8，结合性质可求解答：解：由题意可得a8=4点（n，an）（nN*）在经过点（8，4）的定直线l上an可写为关于n的一次函数即可设an=kn+m，则anan1=k（为常数）an为等差数列由等差数列的性质可知，a1+a15=2a8=8 =15a8=60故选C点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及等差 数列的性质的 简单应用，属于基础试题4（5分）（2010青岛二模）若a=，b=，则a与b的关系是（）AabBabCa=bDa+b=0考点：定积分的简单应用3930094专题：计算题分析：a=（cosx）=（cos2）（cos）=cos2sin24.6，b=
4、sinx=sin1sin0=sin1sin57.3解答：解：a=（cosx）=（cos2）（cos）=cos2cos114.6=sin24.6，b=sinx=sin1sin0=sin1sin57.3，ba故选A点评：本题考查定积分的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答5（5分）（2010福建）将函数f（x）=sin（x+）的图象向左平移个单位若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于（）A4B6C8D12考点：函数y=Asin（x+）的图象变换3930094专题：计算题分析：由题意将函数f（x）=sin（x+）的图象向左平移个单位若所得图象与原图象重合，说明是函数周期的整数倍，求出与k，的关
5、系，然后判断选项解答：解：因为将函数f（x）=sin（x+）的图象向左平移个单位若所得图象与原图象重合，所以是已知函数周期的整数倍，即k=（kZ），解得=4k（kZ），A，C，D正确故选B点评：本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识，是已知函数周期的整数倍，是本题解题关键6（5分）（2012杭州一模）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2x），且（x1）f（x）0，若a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCbacDacb考点：函数的单调性与导数的关系3930094专题：探究型分析：先根据题中条件：“f（x）=f（2x），”求其对称轴，
6、再利用导数的符号判断函数的单调性，进而可解解答：解：由f（x）=f（2x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，根据题意又知x（，1）时，f（x）0，此时f（x）为增函数，x（1，+）时，f（x）0，f（x）为减函数，所以f（3）=f（1）f（0）f（ ），即cab，故选C点评：本题的考点是函数的单调性与导数的关系，主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系解答关键是利用导数工具判断函数的单调性，属基础题7（5分）实数m满足方程，则有（）A2m1mBm12mC1m2mD12mm考点：函数的零点与方程根的关系3930094专题：证明题分析：先将方程的根m转化为函数图象的交点问题，画出指数函数和
7、对数函数的图象，数形结合即可得m的范围，进而可比较2m与1的大小解答：解：方程的根为m，即函数y=2x与函数y=的交点横坐标为m，如图：数形结合可知：0m1，2m1m12m，故选 B点评：本题主要考查了方程的根与函数的零点，与函数图象的交点间的关系，指数函数、对数函数的图象和性质，数形结合的思想方法，转化化归的思想方法8（5分）“a=1”是“函数y=cos2axsin2ax的最小正周期为”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：三角函数的周期性及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判断3930094专题：计算题分析：化简y=cos2axsin2ax，利用最
8、小正周期为，求出a，即可判断选项解答：解：函数y=cos2axsin2ax=cos2ax，它的周期是，a=1显然“a=1”可得“函数y=cos2axsin2ax的最小正周期为”后者推不出前者，故选A点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题9（5分）（2013日照二模）在同一个坐标系中画出函数y=ax，y=sinax的部分图象，其中a0且a1，则下列所给图象中可能正确的是（）ABCD考点：指数函数的图像与性质；正弦函数的图象3930094专题：压轴题；数形结合分析：本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数和三角函数的图象的特征进行判定解答
9、：解：正弦函数的周期公式T=，y=sinax的最小正周期T=；对于A：T2，故a1，因为y=ax的图象是增函数，故错；对于B：T2，故a1，而函数y=ax是减函数，故错；对于C：T=2，故a=1，y=ax=1，故错；对于D：T2，故a1，y=ax是减函数，故对；故选D点评：本题主要考查了指数函数的图象，以及对三角函数的图象，属于基础题10（5分）（2012松江区三模）已知各项均不为零的数列an，定义向量，nN*下列命题中真命题是（）A若nN*总有成立，则数列an是等差数列B若nN*总有成立，则数列an是等比数列C若nN*总有成立，则数列an是等差数列D若nN*总有成立，则数列an是等比数列考点
10、：等差关系的确定；平行向量与共线向量3930094专题：计算题；压轴题分析：由题意根据向量平行的坐标表示可得nan+1=（n+1）anan=na1，从而可进行判断解答：解：由可得，nan+1=（n+1）an，即，于是an=na1，故选A点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示，等差及等比数列的判断，属于基础试题11（5分）f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数（）A是3个B是4个C是5个D多于5个考点：函数的零点3930094专题：函数的性质及应用分析：由函数的周期为3可得f（x+3）=f（x），再结合函数的奇偶性确定出函数在给定区间
11、上的零点个数，注意找全零点，不能漏掉解答：解：f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，f（2）=0，若x（0，6），则可得出f（5）=f（2）=0又根据f（x）为奇函数，则f（2）=f（2）=0，又可得出f（4）=f（1）=f（2）=0又函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得出f（0）=0，从而f（3）=f（0）=0在f（x+3）=f（x）中，令x=，则有f（）=f（）再由奇函数的定义可得f（）=f（），f（）=0故f（）=f（）=f（4）=f（1）=f（3）=f（5）=f（2）=0，共7个解，故选D点评：本题考查抽象函数的求值问题，考查函数周期性的定义，函数奇偶性的运用，把握住函数零点的定
12、义是解决本题的关键，属于中档题12（5分）函数的部分图象，如图所示，若，则等于（）ABCD考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的运算3930094专题：三角函数的图像与性质分析：由，可求得ABC=120，再由函数最大值为，通过解三角形可求得周期，由此即可求得值解答：解：由，得|cos（ABC）=，即|（cosABC）=，由图知|=2|，所以cosABC=，即得ABC=120，过B作BDx轴于点D，则BD=，在ABD中ABD=60，BD=，易求得AD=3，所以周期T=34=12，所以=故选B点评：本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式及平面向量数量积的
13、运算，解决本题的关键是由所给数量积求出ABC=120二、填空题：(共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题卷中的相应位置)13（5分）已知复数z=，是z的共轭复数，则z=考点：复数代数形式的混合运算3930094专题：计算题分析：化简可得复数z，进而可得其共轭复数，然后再计算即可解答：解：化简得z=，故=，所以z=（）（）=故答案为：点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，化简复数z是解决问题的关键，属基础题14（5分）定义集合运算A*B=m|m=xy（xy），xA，yB设集合A=1，2，B=3，4，则A*B中所有元素之和为34考点：元素与集合关系的判断3930094专题：新定义分析：
14、根据定义A*B=m|m=xy（xy），xA，yB，计算出集合A*B的所有元素，再求出这些元素的和解答：解：A*B=m|m=xy（xy），xA，yB设集合A=1，2，B=3，4，当x=1，y=3时，m=6当x=1，y=4时，m=12当x=2，y=3时，m=6当x=2，y=4时，m=16A*B=6，12，16集合A*B的所有元素之和为34故答案为：34点评：本题考查映射的定义，解题的关键是正确理解A*B=m|m=xy（xy），xA，yB根据定义中的规则列举出集合A*B的所有元素15（5分）已知集合A=x|x2=1，B=x|ax=1，若BA，则实数a构成的集合为1，0，1考点：子集与真子集39300
15、94专题：计算题分析：由集合A=x|x2=1=1，1，B=x|ax=1=，BA，B=，或B=1，或B=1由此能求出实数a构成的集合解答：解：集合A=x|x2=1=1，1，B=x|ax=1=，BA，B=，或B=1，或B=1当B=时，不存在，a=0当B=1时，=1，a=1当B=1时，=1，a=1实数a构成的集合为1，0，1故答案为：1，0，1点评：本题考查子集与真子集的应用，是基础题解题时要认真审题，易错点是容易忽视B为空集的情况16（5分）已知函数在（，+）上单调递减，那么实数a的取值范围是）考点：函数单调性的性质3930094专题：计算题分析：由已知中函数在（，+）上单调递减，则在两个分段上函
16、数均为减函数，且当x=1时，按照x1得到的函数值不小于按照x1得到的函数值由此关于a的不等式，解不等式即可得到答案解答：解：数在（，+）上单调递减，解得：故答案为：）点评：本题考查的知识点是函数的单调性的性质，其中根据分段函数单调性的确定方法，构造出满足条件的关于a的不等式，是解答本题的关键三、解答题：（共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卷上的指定区域内）17（10分）已知各项均不相同的等差数列an的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设Tn为数列的前n项和，求T2013的值考点：等差数列与等比数列的综合；数列的
17、求和3930094专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（）利用等差数列an的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列，建立方程组，求出首项与公差，从而可得数列an的通项公式；（）利用裂项法，即可求得T2013的值解答：解：（）设公差为d，则等差数列an的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列又d0，解得d=1，a1=2，an=n+1；（）=Tn=+=T2013=点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题18（12分）（2011山东）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）求的值；（2）若cosB=，ABC的周长为5
18、，求b的长考点：正弦定理的应用；余弦定理3930094专题：计算题；函数思想；方程思想分析：（1）利用正弦定理化简等式的右边，然后整理，利用两角和的正弦函数求出的值（2）利用（1）可知c=2a，结合余弦定理，三角形的周长，即可求出b的值解答：解：（1）因为所以即：cosAsinB2sinBcosC=2sinCcosBCOSbsinA所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA所以=2（2）由（1）可知c=2aa+b+c=5b2=a2+c22accosBcosB=解可得a=1，b=c=2；所以b=2点评：本题是中档题，考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和的三角函数的应用，函数
19、与方程的思想，考查计算能力，常考题型19（12分）（2012南宁模拟）已知f （x）=sin2xcos2，（xR）（）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f （C）=0，若=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值考点：三角函数的最值；平行向量与共线向量；三角函数的周期性及其求法；正弦定理；余弦定理3930094专题：综合题分析：（）先根据两角和与差的正弦公式化简为y=Asin（wx+）+b的形式，结合正弦函数的最值可确定函数f（x）的最小值，再由T=可求出其最小正周期（）将C代入到函数f（x）中令f（C）=0根据C的范
20、围求出C的值，再由与共线得到关系式=，从而根据正弦定理可得到a，b的关系=，最后结合余弦定理得到3=a2+b2ab，即可求出a，b的值解答：解：（）f（x）=sin2x=sin（2x）1则f（x）的最小值是2，最小正周期是T=（）f（C）=sin（2C）1=0，则sin（2C）=1，0C，02C2，2C，2C=，C=，=（1，sinA）与=（2，sinB）共线=，由正弦定理得，=由余弦定理得，c2=a2+b22abcos，即3=a2+b2ab由解得a=1，b=2点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式、向量的共线问题、正弦定理与余弦定理的应用三角函数与向量的综合题是高考的热点问题，要强化复习20
21、（12分）（2011安徽）设，其中a为正实数（）当a=时，求f（x）的极值点；（）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的解法3930094专题：计算题分析：（）首先对f（x）求导，将a=代入，令f（x）=0，解出后判断根的两侧导函数的符号即可（）因为a0，所以f（x）为R上为增函数，f（x）0在R上恒成立，转化为二次函数恒成立问题，只要0即可解答：解：对f（x）求导得f（x）=ex（）当a=时，若f（x）=0，则4x28x+3=0，解得结合，可知 所以，是极小值点，是极大值点（）若f（x）为R上的单调函数，则f（x）在
22、R上不变号，结合与条件a0知ax22ax+10在R上恒成立，因此=4a24a=4a（a1）0，由此并结合a0，知0a1点评：本题考查求函数的极值问题、已知函数的单调性求参数范围问题，转化为不等式恒成立问题求解21（12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn=2an2n（nN+），（1）求证数列an+2为等比数列；（2）若数列bn满足bn=log2（an+2），Tn为数列的前n项和，求证：考点：数列的求和；等比关系的确定3930094专题：计算题分析：（1）令n=1，由Sn=2an2n可得a1=2，再由sn+1=2an+12（n+1），相减后化简可得 an+1+2=2（an +2 ），可得数
23、列an+2是以4为首项，以2为公比的等比数列（2）由（1）知，an +2=42n1，由此求得bn=n+1，故 =，再用错位相减法求出数列的前n项和Tn的值，从而得出结论解答：解：（1）令n=1，由Sn=2an2n可得a1=2再由Sn=2an2n（nN+），可得 sn+1=2an+12（n+1），sn+1Sn =2an+12an2，即 an+1=2an +2，故有 an+1+2=2（an +2 ），故数列an+2是以4为首项，以2为公比的等比数列（2）由（1）知，an +2=42n1，bn=log2（an+2）=log2（42n1 ）=n+1，=数列的前n项和Tn=+ ， Tn=+ ，可得 Tn
24、=+=+=+，故Tn=+，显然满足 点评：本题主要考查等比关系的确定，用错位相减法进行数列求和，属于中档题22（12分）（2012茂名一模）已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）求实数集R上的奇函数，函数g（x）=f（x）+sinx是区间1，1上的减函数（1）求a的值；（2）若g（x）t2+t+1在x1，1及所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围；（3）讨论关于x的方程的根的个数考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题3930094专题：计算题分析：（1）因为定义域是实数集R，直接利用奇函数定义域内有0，则f（0）=f（0）即f（0）=0，即可求a的值；（2）先
25、利用函数g（x）的导函数g（x）=+cosx0在1，1上恒成立，求出的取值范围以及得到g（x）的最大值g（1）=1sin1；然后把g（x）t2+t+1在x1，1上恒成立转化为sin1t2+t+1（1），整理得（t+1）+t2+sin1+10（1）恒成立，再利用一次函数的思想方法求解即可（3）先把方程转化为=x22ex+m，令F（x）=（x0），G（x）=x22ex+m （x0），再利用导函数分别求出两个函数的单调区间，进而得到两个函数的最值，比较其最值即可得出结论解答：解：（1）因为函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，所以f（0）=f（0）即f（0）=0，则ln（e
26、0+a）=0解得a=0，a=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=x+sinx，g（x）=+cosx，因为g（x） 在1，1上单调递减，g（x）=+cosx0 在1，1上恒成立，1，g（x）max=g（1）=1sin1，只需sin1t2+t+1（1），（t+1）+t2+sin1+10（1）恒成立，令h（）=（t+1）+t2+sin1+1（1）则 ，解得t1（3）由（1）得f（x）=x方程转化为=x22ex+m，令F（x）=（x0），G（x）=x22ex+m （x0），（8分）F（x）=，令F（x）=0，即=0，得x=e当x（0，e）时，F（x）0，F（x）在（0，e）上为增函数；当x（e，+）时，F（x）0，F（x）在（e，+）上为减函数；（9分）当x=e时，F（x）max=F（e）=（10分）而G（x）=（xe）2+me2 （x0）G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+）上为增函数；（11分）当x=e时，G（x）min=me2（12分）当me2，即me2+时，方程无解；当me2=，即m=e2+时，方程有一个根；当me2，即me2+时，方程有两个根；（14分）点评：本题主要考查函数奇偶性的性质，函数恒成立问题以及导数在最大值、最小值问题中的应用，是对知识的综合考查，属于难题在涉及到奇函数定义域内有0时，一般利用结论f（0）=0来作题
