1、7.3 对称问题巩固夯实基础 一、自主梳理 1.点P(x0,y0)关于定点A(a,b)的对称点为(2a-x0,2b-y0),曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0. 2.设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P(x,y),则x、y可由方程组来确定. 3.直线关于直线对称直线l1:a1x+b1y+c1=0关于直线l:Ax+By+C=0的对称直线l2：(1)过直线l1和l的交点；(2)l1到l的角等于l到l2的角. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论 (1)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)； (2)点(x,y)关于y轴
2、的对称点为(-x,y); (3)点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y); (4)点(x,y)关于直线x-y=0的对称点为(y,x)； (5)点(x,y)关于直线x+y=0的对称点为(-y,-x). 二、点击双基 1.已知点M(a,b)与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为( )A.(a,b) B.(b,a) C.(-a,-b) D.(-b,-a)解析：N(a,-b),P(-a,-b)，则Q(b,a)答案：B2.(2004浙江高考,理)曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是（ ）A.y2=8-4x B.y2=4x-8 C.y2=16
3、-4x D.y2=4x-16解析：设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为C,在曲线C上任取一点P(x,y),则P(x,y)关于直线x=2的对称点为Q(4-x,y).因为Q(4-x,y)在曲线y2=4x上, 所以y2=4(4-x),即y2=16-4x.答案：C3.已知直线l1:x+my+5=0和直线l2:x+ny+p=0,则l1、l2关于y轴对称的充要条件是（ ）A.= B.p=-5C.m=-n且p=-5 D.=-且p=-5解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为(-x)+my+5=0，即x-my-5=0，与l2比较，m=-n且p=-5.反之验证亦成立.答案：C4.直线y=x关于直线x=1对称
4、的直线方程是_.解析：设所求曲线上任一点坐标为(x,y),则其关于x=1的对称点为(2-x,y),代入y=x,得y=(2-x),即x+2y-2=0.答案：x+2y-2=05.设直线x+4y-5=0的倾斜角为，则它关于直线y-3=0对称的直线的倾斜角是_.解析：数形结合.答案：-诱思实例点拨【例1】 光线从点A（-3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（-2，6），求射入y轴后的反射线的方程.剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.解：A（-3，4）关于x轴的对称点A1（-3，-4）在经x轴反射的光线上, 同样A1（-3，-4）关于y轴的对称点A2（3，-4）在经
5、过射入y轴的反射线上, =-2. 故所求直线方程为y-6=-2(x+2), 即2x+y-2=0.【例2】 求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程.剖析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称,它们具有下列几何性质:(1)若a、b相交,则l是a、b交角的平分线;(2)若点A在直线a上,那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上,这时ABl,并且AB的中点D在l上;(3)a以l为轴旋转180,一定与b重合.使用这些性质,可以找出直线b的方程.解此题的方法很多,总的来说有两类:一类是找出确定直线方程的两个条件,选择适当的直线方程的形式,求出直线方程;另一类是直
6、接由轨迹求方程.解：由解得a与l的交点E(3,-2),E点也在b上. 方法一:设直线b的斜率为k,又知直线a的斜率为-2,直线l的斜率为-.则=. 解得k=-. 代入点斜式得直线b的方程为y-(-2)=-(x-3), 即2x+11y+16=0.方法二:在直线a:2x+y-4=0上找一点A(2,0),设点A关于直线l的对称点B的坐标为(x0,y0), 由 解得B(,-). 由两点式得直线b的方程为=, 即2x+11y+16=0. 方法三:设直线b上的动点P(x,y)关于l:3x+4y-1=0的对称点Q(x0,y0),则有 解得x0=,y0=. Q(x0,y0)在直线a:2x+y-4=0上, 则2
7、+-4=0, 化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程. 方法四:设直线b上的动点P(x,y),直线a上的点Q(x0,4-2x0),且P、Q两点关于直线l:3x+4y-1=0对称,则有 消去x0,得2x+11y+16=0或2x+y-4=0(舍).讲评：本题体现了求直线方程的两种不同的途径,方法一与方法二,除了点E外,分别找出确定直线位置的另一个条件:斜率或另一个点,然后用点斜式或两点式求出方程;方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质,直接由轨迹求方程,在使用这种方法时,要注意区分动点坐标及参数.本题综合性较强,只有对坐标法有较深刻的理解,同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题.【例3】 直线l经过点(1,1),若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称,求直线l斜率的取值范围.解法一：设直线l的方程为y-1=k(x-1),弦的两个端点分别是A(x1,y1)、B(x2,y2),代入抛物线方程并作差得(y1+y2)(y1-y2)=x1-x2. kAB=-, y1+y2=-k.注意到AB的中点在直线l:y-1=k(x-1)上, x1+x2=1-. y12+y22=x1+x2=1-. 由y12+y22,得1-0-2k0 0 -2k0.