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2022版新高考数学一轮复习教师用书:第8章 第5节 第1课时 椭圆及其性质 WORD版含解析.doc

1、椭圆考试要求1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用1椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a,c为常数且a0,c0.当2a|F1F2|时,M点的轨迹为椭圆;当2a|F1F2|时,M点的轨迹为线段F1F2;当2ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性

2、对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a),B1(b,0),B2(b,0)离心率e,且e(0,1)a,b,c的关系c2a2b21点P(x0,y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0,y0)在椭圆内(2)点P(x0,y0)在椭圆上(3)点P(x0,y0)在椭圆外2焦点三角形如图,椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形设r1|PF1|,r2|PF2|,F1PF2,PF1F2的面积为S,则在椭圆1(ab0)中:(1)当r1r2,即点P的位置为短轴端点时,最大;(2),当|y0|b,即点P的位置

3、为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.(3)ac|PF1|ac.(4)|PF1|aex0,|PF2|aex0.(5)当PF2x轴时,点P的坐标为.(6)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .3椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中a是斜边长,a2b2c2.4已知过焦点F1的弦AB,则ABF2的周长为4a.5椭圆中点弦的斜率公式若M(x0,y0)是椭圆1(ab0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点,则有6弦长公式:直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|x1x2| (k为直线的斜率)一、易错易误辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1,F2

4、的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆()(4)关于x,y的方程mx2ny21(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1设P是椭圆1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|PF2|等于()A4B5C8D10D依椭圆的定义知:|PF1|PF2|2510.2若方程1表示椭圆,则k的取值范围是_(3,4)(4,5)由已知得解得3k5且k4.3已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2

5、为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为_或设P(xP,yP),xP0,由题意知|F1F2|2.则SPF1F2|F1F2|yP|1,解得|yP|1.代入椭圆的方程,得1,解得xP,因此点P的坐标为或.第1课时椭圆及其性质 考点一椭圆的定义及其应用 椭圆定义的应用类型及方法(1)探求轨迹:确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆(2)应用定义转化:涉及焦半径的问题,常利用|PF1|PF2|2a实现等量转换(3)焦点三角形问题:常把正、余弦定理同椭圆定义相结合,求焦点、三角形的面积等问题 典例1(1)已知两圆C1:(x4)2y2169,C2:(x4)2y29,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆

6、C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1B1C.1D1(2)如图,椭圆1(a2)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上的一点,若F1PF260,那么PF1F2的面积为()AB CD(3)设F1,F2分别是椭圆1的左、右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|PF1|的最小值为_(1)D(2)D(3)5(1)设圆M的半径为r,则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且 2a16,2c8,故所求的轨迹方程为1.(2)由题意知|PF1|PF2|2a,|F1F2|24a216,由余弦定理得4a216|PF1|2|P

7、F2|22|PF1|PF2|cos 60,即4a216(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|,|PF1|PF2|,SPF1F2|PF1|PF2|sin 60,故选D.(3)由题意知,点M在椭圆外部,且|PF1|PF2|10,则|PM|PF1|PM|(10|PF2|)|PM|PF2|10|F2M|10(当且仅当点P,M,F2三点共线时等号成立)又F2(3,0),则|F2M|5.|PM|PF1|5,即|PM|PF1|的最小值为5.点评:解答本例T(3)的关键是差式(|PM|PF1|)转化为和式(|PM|PF2|10)而转化的依据为|PF1|PF2|2a.1已知A(1,0),B是圆F:x22x

8、y2110(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为()A.1B1C.1D1D由题意得|PA|PB|,|PA|PF|PB|PF|r2|AF|2,点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆,且a,c1,b,动点P的轨迹方程为1,故选D.2已知F1,F2是椭圆C:1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1PF2,若PF1F2的面积为9,则b_.3法一:设|PF1|r1,|PF2|r2,则 所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2,所以SPF1F2r1r2b29,所以b3.法二:PF1PF2,F1PF290,SPF1F2b2tan 459,b29,b3.

9、 考点二求椭圆的标准方程 待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤典例2(1)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点,(,),则椭圆方程为_(2)过点(,),且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_(3)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(3,0),且离心率e,则椭圆的标准方程为_(1)1(2)1(3)1或1(1)设椭圆方程为mx2ny21(m,n0,mn)由解得m,n.椭圆方程为1.(2)法一:椭圆1的焦点为(0,4),(0,4),即c4.由椭圆的定义知,2a,解得a2.由c2a2b2可得b24,所求椭圆的标准方程为1.法二:所求椭圆与椭圆1的焦点相同,其焦点在y轴上,且c225916.设

10、它的标准方程为1(ab0)c216,且c2a2b2,故a2b216.又点(,)在所求椭圆上,1,则1.由得b24,a220,所求椭圆的标准方程为1.(3)若焦点在x轴上,由题知a3,因为椭圆的离心率e,所以c,b2,所以椭圆方程是1.若焦点在y轴上,则b3,a2c29,又离心率e,解得a2,所以椭圆方程是1.点评:利用待定系数法要先定形(焦点位置),再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组如果焦点位置不确定,可设椭圆方程为mx2ny21(m0,n0,mn)的形式1已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若AF1B

11、的周长为12,则椭圆C的标准方程为()A.y21B1C.1D1D由椭圆的定义,知|AF1|AF2|2a,|BF1|BF2|2a,所以AF1B的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a12,所以a3.因为椭圆的离心率e,所以c2,所以b2a2c25,所以椭圆C的方程为1,故选D.2(2020通州模拟)设椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点,焦点与椭圆上的点的最短距离为,则这个椭圆的方程为_,离心率为_1或1焦点与椭圆的最短距离为ac,a2c,c,a2,b3,椭圆方程为1或1.离心率e. 考点三椭圆的几何性质 1.求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立

12、关于a,b,c的关系式(等式或不等式),转化为e的关系式,常用方法如下:(1)直接求出a,c,利用离心率公式e求解(2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式e求解(3)构造a,c的齐次式离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值,而是得出a与c的关系,从而求得e.2利用椭圆几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示,利用坐标范围构造函数或不等关系(2)将所求范围用a,b,c表示,利用a,b,c自身的范围、关系求解椭圆中的基本量a,b,c典例31嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右,嫦娥四号顺利进入了以月球

13、球心为一个焦点的椭圆形轨道,如图中轨道所示,其近月点与月球表面距离为100公里,远月点与月球表面距离为400公里,已知月球的直径约为3 476公里,对该椭圆有四个结论:焦距长约为300公里;长轴长约为3988公里;两焦点坐标约为(150,0);离心率约为.则上述结论正确的是()AB CDC设该椭圆的半长轴长为a,半焦距长为c.依题意可得月球半径约为3 4761 738,ac1001 7381 838,ac4001 7382 138,2a1 8382 1383 976,a1 988,c2 1381 988150,椭圆的离心率约为e,可得结论正确,错误;因为没有给坐标系,焦点坐标不确定,所以错误故

14、选C.点评:探求椭圆的长轴、短轴、焦距等问题,只要抓住题设中的信息,直译解方程即可离心率典例32(1)(2018全国卷)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点若PF1PF2,且PF2F160,则C的离心率为()A1B2CD1(2)已知F1,F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使F1PF290,则椭圆的离心率的取值范围是_(1)D(2)(1)由题设知F1PF290,PF2F160,|F1F2|2c,所以|PF2|c,|PF1|c.由椭圆的定义得|PF1|PF2|2a,即cc2a,所以(1)c2a,故椭圆C的离心率e1.故选D.(2)若存在点P,则圆x2y2c2与椭圆有

15、公共点,则F1BF290(B为短轴端点),即bca,即b2c2,a2c2c2,a22c2,e1.点评:与几何图形有关的离心率问题,常借助勾股定理、正(余)弦定理求解;对于(2)这种探索性问题常采用临界点法求解与椭圆有关的最值(范围问题)典例33(1)(2017全国卷)设A,B是椭圆C:1长轴的两个端点,若C上存在点M满足AMB120,则m的取值范围是()A(0,19,)B(0,9,)C(0,14,)D(0,4,)(2)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点,若P为椭圆上的任意一点,则的最大值为()A2B3 C6D8(1)A(2)C(1)由题意知,当M在短轴顶点时,AMB最大如图1,当焦点在x轴

16、,即m3时,a,b,tan tan 60,0m1.图1图2如图2,当焦点在y轴,即m3时,a,b,tan tan 60,m9.综上,m的取值范围(0,19,),故选A.(2)由题意知,O(0,0),F(1,0),设P(x,y),则(x,y),(x1,y),x(x1)y2x2y2x.又1,y23x2,x2x3(x2)22.2x2,当x2时,有最大值6.点评:本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形,借助该临界点,然后数形结合求解;本例(2)的求解采用了先建模,再借助椭圆中变量x的有界性解模的思路1(2021全国统一考试模拟演练)椭圆1(m0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若F1AF2,则m()A1 B C D2Ca2m21,b2m2,则c2a2b21,由题意bc,则b23c23m2,又m0,则m.2(2020攀枝花模拟)如图,椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆上的点P作y轴的垂线,垂足为Q,若四边形F1F2PQ为菱形,则该椭圆的离心率为()AB C1D1B由题意,F1(c,0),F2(c,0),因为四边形F1F2PQ为菱形,所以P(2c,c),将点P坐标代入1可得:1,整理得4c48a2c2a40,所以4e48e210,因0e1,故e.

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