1、专题三立体几何第1讲空间几何体、表面积与体积一、选择题 1.水平放置的ABC的直观图如图,其中BO=CO=1,AO=32,那么原ABC是一个()A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形答案AAO=2AO=232=3,BC=BO+CO=1+1=2,在RtAOB中,AB=12+(3)2=2,同理AC=2,所以ABC是等边三角形.2.给出下列几个命题:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C
2、.2D.3答案B错误,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;正确;错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.3.(2019湖北武汉5月模拟)已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为()A.4B.29C.223D.417答案B设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,由已知得4(x+y+z)=36,2(xy+xz+yz)=52,的两边同时平方得x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=81,把代入得x2+y2+z2=29,所以长方体的体对角线的长为29.故选B.4.已知圆柱的高为2,底面半径为3,若该圆柱的两个底面的圆周都在同一
3、个球面上,则这个球的表面积等于()A.4B.163C.323D.16答案D如图,球的半径R=OH2+AH2=1+3=2,表面积为4R2=16.故选D.5.(2019山西六校联考)如图,一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为9 cm,高为36 cm.玻璃杯内水深为33 cm,将一个球放在杯口,球面恰好与水面接触,并且球面与杯口密闭.若不计玻璃杯的厚度,则球的表面积为()A.900 cm2B.450 cm2C.800 cm2D.400 cm2答案A由已知,球嵌入玻璃杯的高度h=36-33=3(cm).设球的半径为R(cm),则R2=92+(R-3)2,解得R=15,所以该球的表面积S=4R2=90
4、0(cm2),所以选A.6.已知矩形ABCD的顶点都在球心为O,半径为R的球面上,AB=6,BC=23,且四棱锥O-ABCD的体积为83,则R等于()A.4B.23C.479D.13答案A设球心O到平面ABCD的距离为h,由题意可知VO-ABCD=13S矩形ABCDh=13623h=83,解得h=2,又矩形ABCD所在的截面圆的半径为12AB2+BC2=1262+(23)2=23,从而球的半径R=22+(23)2=4.故选A.7.(2019广州模拟)三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABAC,PA=PC=AC=2,AB=4,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为()A.23B.234C.
5、64D.643答案D如图,设O为正PAC的中心,D为RtABC斜边的中点,H为AC的中点,连接PH,HD.由平面PAC平面ABC得OH平面ABC.作OOHD,ODOH,则交点O为三棱锥P-ABC的外接球的球心,连接OP,又OP=23PH=23322=233,OO=DH=12AB=2.R2=OP2=OP2+OO2=43+4=163,三棱锥P-ABC的外接球的表面积S=4R2=643.8.(2019福建福州质检,11)如图,以棱长为1的正方体的顶点A为球心,2为半径作一个球面,则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()A.34B.2C.32D.94答案C正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等
6、的三部分,如图,上底面被截得的弧长是以A1为圆心,1为半径的圆周长的14,所以所有弧长之和为324=32.故选C.9.把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形),则皮球的半径为()A.103 cmB.10 cmC.102 cmD.30 cm答案B在四棱锥S-ABCD中,所有棱长均为20 cm,连接AC,BD交于点O,连接SO,如图,则SO=AO=BO=CO=DO=102 cm,易知点O到AB,BC,CD,AD的距离均为10 cm,在等腰三角形OAS中,OA=OS=102 cm,AS=20 cm,所以O到SA的距离d=
7、10 cm,同理可证O到SB,SC,SD的距离也为10 cm,所以球心为四棱锥底面ABCD的中心,所以皮球的半径r=10 cm.10.(多选)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1各条棱的长度均相等,D为AA1的中点,M,N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点),且满足BM=C1N,当M,N运动时,下列结论中正确的是()A.在DMN内总存在与平面ABC平行的线段B.平面DMN平面BCC1B1C.三棱锥A1-DMN的体积为定值D.DMN可能为直角三角形答案ABC用平行于平面ABC的平面截平面DMN,则交线平行于平面ABC,故A正确;当M,N分别在BB1,CC1上运动时,若满足BM=C1N,则
8、线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO平面BCC1B1可得平面DMN平面BCC1B1,故B正确;当M,N分别在BB1,CC1上运动时,A1DM的面积不变,点N到平面A1DM的距离不变,所以三棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故C正确;若DMN为直角三角形,则必是以MDN为直角的直角三角形,易证DM=DN,所以DMN为等腰直角三角形,所以DO=OM=ON,即MN=2DO.设正三棱柱的棱长为2,则DO=3,MN=23.因为MN的最大值为BC1,BC1=22,所以MN不可能为23,所以DMN不可能为直角三角形,故D错误.故选ABC.二、填空题11.已知一个正方体外
9、接球的体积为V1,内切球的体积为V2,那么V1V2的值为.答案33解析设正方体的棱长为a,则V1V2=43R1343R23=R1R23=32a12a3=(3)3=33.12.如图,铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm,圆柱的底面面积为93 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件,则该正三棱柱零件的底面边长为cm.(不计损耗)答案210解析V正六棱柱=2434=963(cm3),V圆柱=934=363(cm3),V正三棱柱=963-363=603(cm3).设正三棱柱零件的底面边长为a cm,则12a32a6=603,解
10、得a=210.故正三棱柱零件的底面边长为210 cm.13.(2019河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为1的三棱锥,各侧棱长都相等,底面是边长为2的等边三角形,则三棱锥的表面积为,若三棱锥内有一个体积为V的球,则V的最大值为.答案33481解析该三棱锥侧面的斜高为1332+12=233,则S侧=3122233=23,S底=1232=3,所以三棱锥的表面积S表=23+3=33.由题意知,当球与三棱锥的四个面都相切时,其体积最大.设三棱锥的内切球的半径为r,则三棱锥的体积V锥=13S表r=13S底1,所以33r=3,所以r=13,所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmax=43r3=481.1
11、4.(2019湖北联考)一个帐篷下部的形状是高为2 m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点D到底面中心O1的距离为时,帐篷的体积最大.答案7 m解析设DO1为x m(2x5),由已知得,正六棱锥底面边长为9-(x-2)2=5+4x-x2 m,底面正六边形的面积为634(5+4x-x2)2=332(5+4x-x2) m2,所以帐篷体积为V(x)=332(5+4x-x2)2+13332(5+4x-x2)(x-2)=332(5+4x-x2)2+13(x-2)=32(5+4x-x2)(x+4),所以V(x)=32(21-3x2),当2x0,V(x)单调递增;当7x
12、5时,V(x)0,V(x)单调递减,所以当x=7时,V(x)取得最大值.命题拓展预测1.我国南北朝时期的科学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.”意思是:如果两个等高的几何体在等高处的水平截面的面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积:如图,曲线y=x2(0yL)和直线y=L围成的封闭图形绕y轴旋转一周得几何体Z,将Z放在与y轴垂直的水平面上,用平行于平面,且与Z的顶点O距离为l的平面截几何体Z,得截面圆的面积为(l)2=l.由此构造右边的几何体Z1(三棱柱ABC-A1B1C1),其中AC平面,BB1C1C,EFPQ,AC=L,AA1,AA1=,Z
13、1与Z在等高处的截面面积都相等,图中EFPQ和BB1C1C为矩形,且PQ=,FP=l,则几何体1的体积为()A.L2B.L3C.12L2D.12L3答案C由题意可知,在高为L处,几何体Z和Z1的水平截面面积相等,为L,所以S矩形BB1C1C=L,所以BC=L,所以V三棱柱ABC-A1B1C1=SABC=12L2,故选C.2.已知三棱锥P-ABC的棱AP,AB,AC两两垂直,且长度都为3,以顶点P为球心,2为半径作一个球,则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧的长度之和等于()A.3B.32C.43D.56答案B如图所示,由题意知RtPAC,RtPAB为等腰直角三角形,且AP=AB=AC=3.以顶点P为球心,2为半径作一个球,设球P与RtPAC的边PC,AC分别交于点M,N,与AB,PB分别交于点H,G,易得cosAPN=32,所以APN=6,AN=AP tan6=1,所以NPM=12,所以弧MN的长lMN=122=6.同理lGH=6,易知AH=AN=1,则lHN=21=2.又易知弧GM的长是以顶点P为圆心,2为半径的圆的周长的16,所以lGM=226=23,所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧的长度之和等于6+6+2+23=96=32.故选B.