1、单元质检卷三导数及其应用(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是()A.m0B.m1D.m12.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是()A.0B.1C.2D.33.(2018山西吕梁一模,10)函数f(x)=x2-1ex的图象大致为()4.(2018河南郑州三模,11)已知函数f(x)=ax+x2-xln a,对任意的x1,x20,1,不等式|f(x1)-f(x2)|a-2恒成立,则a的取值范围为()A.e2,+)B.e,+)C.2,eD.e,e25.(2018湖南长郡中学五模,9)已知
2、定义在R上的函数f(x),其导函数为f(x),若f(x)-f(x)ex+3的解集是()A.(-,1)B.(1,+)C.(0,+)D.(-,0)6.(2018辽宁丹东一模)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是()A.y=-2x+3B.y=xC.y=3x-2D.y=2x-17.(2018河南六市联考一,10)若正项递增等比数列an满足1+(a2-a4)+(a3-a5)=0(R),则a6+a7的最小值为()A.-2B.-4C.2D.48.(2018河北衡水中学仿真,10)已知函数f(x)为R内的奇函数,且当x0时,f(
3、x)=-ex+1-mcos x,记a=-2f(-2),b=-f(-1),c=3f(3),则a,b,c之间的大小关系是()A.bacB.acbC.cbaD.cab9.(2018陕西西安中学月考,12)已知函数f(x)=13x3-a2x,若对于任意的x1,x20,1,都有|f(x1)-f(x2)|1成立,则实数a的取值范围是()A.-233,233B.-233,233C.-233,00,233D.-233,00,23310.(2018湖南长郡中学四模,12)设函数f(x)=minxlnx,x2ex(mina,b表示a,b中的较小者),则函数f(x)的最大值为()A.32ln 2B.2ln 2C.1
4、eD.4e211.(2018山东潍坊一模,12)函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,且y=f(x)在0,+)上单调递减.若x1,3时,不等式f(2mx-ln x-3)2f(3)-f(ln x+3-2mx)恒成立,则实数m的取值范围为()A.12e,ln6+66B.12e,ln3+66C.1e,ln6+66D.1e,ln3+6612.(2018河北唐山一模,12)已知函数f(x)=x2-2xcos x,则下列关于f(x)的表述正确的是()A.f(x)的图象关于y轴对称B.f(x)的最小值为-1C.f(x)有4个零点D.f(x)有无数个极值点二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共2
5、0分)13.已知函数f(x)=-12x2+4x-3ln x在t,t+1上不单调,则t的取值范围是.14.(2018山西太原三模)曲线f(x)=xln x在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是.15.(2018辽宁抚顺一模,改编)已知函数f(x)=aln(x+1)-x2,在区间(0,1)内任取两个实数p,q,且p1恒成立,则实数a的取值范围是.16.已知f(x)=x+xln x,若k(x-2)2恒成立,则整数k的最大值为.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2018贵州贵阳一模,21)设f(x)=xex,g(x)=12x2+x.(1)令F(x)=f(x)
6、+g(x),求F(x)的最小值;(2)若对任意x1,x2-1,+),且x1x2,有mf(x1)-f(x2)g(x1)-g(x2)恒成立,求实数m的取值范围.18.(14分)(2018新疆乌鲁木齐二诊)已知函数f(x)=ln x-ax,其中a为非零常数.(1)求a=1时f(x)的单调区间;(2)设bR,若f(x)b-a对x0恒成立,求ba的最小值.19.(14分)已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(aR).(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在1e,e上有两个零点,求实数m的取值范围.20.(14分)设函数f(x)=ln x-x+
7、1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x(1,+)时,1x-1lnx1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.21.(14分)(2018湖南长郡中学一模,21)已知定义域为(0,+)的函数f(x)=(x-m)ex(常数mR).(1)若m=2,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)+m+10恒成立,求实数m的最大整数值.单元质检卷三导数及其应用1.B求导得y=ex+m,由于ex0,若y=ex+mx有极值,则必须使y的值有正有负,故m0.2.A由f(x)=2x+1-1x=2x2+x-1x=0,得x=12或x=-1(舍去).当0x12时,f(x)12时,f(x)0,f(x)单调递增.
8、则f(x)的最小值为f12=34+ln 20,所以f(x)无零点.3.A函数f(x)=x2-1ex不是偶函数,可以排除C,D,又令f(x)=-x2+2x+1ex=0,得极值点为x1=1-2,x2=1+2,所以排除B,选A.4.A函数f(x)=ax+x2-xln a,x0,1,则f(x)=axln a+2x-ln a=(ax-1)ln a+2x,当0a2时,a-22时,x0,1时,ax1,ln a0,2x0,此时,f(x)0;f(x)在0,1上单调递增,f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f(1)=a+1-ln a,|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min=a-ln a
9、a-2,解得ae2,故选A.5.D不等式f(x)ex+3,即f(x)ex-3ex1,令g(x)=f(x)ex-3ex-1,则g(x)=f(x)-f(x)+3exex+3的解集是(-,0),故选D.6.Df(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,将f(2-x)代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,得f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8,f(x)=x2,f(x)=2x,y=f(x)在(1,f(1)处的切线斜率为y=2.函数y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程y=2x-1.故选D.7.D设正项递增等比数列an的公
10、比为q,则q1,1+(a2-a4)+(a3-a5)=0,1=(a4-a2)+q(a4-a2)=(1+q)(a4-a2).1+q=1a4-a2,a6+a7=a6(1+q)=a6a4-a2=q4q2-1.令g(q)=q4q2-1(q1),g(q)=2q3(q2-2)(q2-1)2.当1q2时,g(q)2时,g(q)0,故g(q)在(2,+)为增函数,当q=2时,g(q)的最小值为g(2)=4,即a6+a7的最小值为4.8.Df(x)是奇函数,f(0)=-e0+1-mcos 0=0,m=0,即当x0时,f(x)=-ex+1,构造函数g(x)=xf(x),f(x)为R内的奇函数,g(x)是偶函数,则g
11、(x)=1-ex(x+1),当x0时,ex1,x+11,据此可得g(x)0,即偶函数g(x)在区间0,+)上单调递减,且a=g(-2)=g(2),b=g(-1)=g(1),c=g(3),cab.故选D.9.A利用排除法,当a=0时,f(x)=13x3,f(x)=x20,函数在定义域上单调递增,|f(x1)-f(x2)|f(1)-f(0)=131,满足题意,排除C,D选项,当a=233时,f(x)=13x3-43x,f(x)=x2-430,函数在定义域上单调递减,|f(x1)-f(x2)|f(0)-f(1)=11,满足题意,排除B选项,故选A.10.Dy=xln xy=ln x+1=0x=1e,
12、函数y=xln x在0,1e内递减,在1e,+内递增;y=x2ex,y=2x-x2ex=0,得x=0或x=2,函数y=x2ex在(0,2)内递增,在(-,0),(2,+)内递减.作出函数y=xln x和y=x2ex的图象,由图象得函数f(x)的最大值为f(2)=4e2.故选D.11.B由y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称,函数f(x)为偶函数,f(x)在0,+)上单调递减,f(x)在(-,0)上单调递增,不等式f(2mx-ln x-3)2f(3)-f(ln x+3-2mx)在区间1,3上恒成立,f(2mx-ln x-3)f(3)在区间1,3上
13、恒成立,-32mx-ln x-33在区间1,3上恒成立,即02mx-ln x6在区间1,3上恒成立,即2mlnxx且2m6+lnxx在区间1,3上恒成立,令g(x)=lnxx,则g(x)=1-lnxx2,g(x)在1,e)上递增,在(e,3上递减,g(x)max=1e.令h(x)=6+lnxx,h(x)=-5-lnxx20时,x+1x2,当且仅当x=1时取“=”,当x=1时,2xcos x2,故方程无解,故B错误;对于C,问题等价于方程x=2cos x有3个解,作出函数y=x,y=2cos x的图象(图象略),可知方程只有1个解,故C错误;对于D,f(x)=2x-2(cos x-xsin x)
14、=2x(1+sin x)-2cos x,由f(x)=0,得x=cosx1+sinx=cos2x2-sin2x2cosx2+sinx22=1-tanx21+tanx2=tan4-x2.由函数y=x与y=tan4-x2的图象有无数交点,知f(x)有无数个极值点,故选D.13.(0,1)(2,3)由题意知f(x)=-x+4-3x=-x2+4x-3x=-(x-1)(x-3)x,由f(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间t,t+1上就不单调,由t1t+1或t3t+1,得0t1或2t1恒成立,函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线
15、的斜率大于1.f(x)=ax+1-2x1在(1,2)内恒成立,即a2x2+3x+1在(1,2)内恒成立,由于函数y=2x2+3x+1在1,2上单调递增,故x=2时,y有最大值15,a15.16.4x2,k(x-2)f(x)可化为k0,故g(x)在(2,+)上是增函数,且g(8)=8-2ln 8-4=2(2-ln 8)0;故存在x0(8,9),使g(x0)=0,即2ln x0=x0-4.故F(x)在(2,x0)上是减函数,在(x0,+)上是增函数;故F(x)min=F(x0)=x0+x0x0-42x0-2=x02,故k0,解得x-1;令F(x)0,解得xx2有mf(x1)-f(x2)g(x1)-
16、g(x2)恒成立,则对任意x1,x2-1,+),且x1x2有mf(x1)-g(x1)mf(x2)-g(x2)0恒成立.令h(x)=mf(x)-g(x)=mxex-12x2-x,x-1,+),即只需h(x)在-1,+)递增即可,故h(x)=(x+1)(mex-1)0在-1,+)恒成立,故m1ex,而1exe,故me.18.解 (1)当a=1时,f(x)=ln x-x,则f(x)=1x-1,当0x0;当x1时,f(x)ln x-ax+a,设h(x)=ln x-ax+a,则h(x)=1x-a,当a0,h(x)在(0,+)递增,bh(x)不可能恒成立;当a0时,h(x)00x1a,h(x)1a,h(x
17、)max=h1a=ln1a-1+a=a-ln a-1,ba-ln a-1ba1-lnaa-1a.设g(a)=1-lnaa-1a(a0),g(a)=lnaa2,g(a)0a1,g(a)00a1,g(x)min=g(1)=0,解得ba0,a=1,b=0时,ba取最小值0.19.解 (1)当a=2时,f(x)=2ln x-x2+2x,f(x)=2x-2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f(1)=2,则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2)g(x)=2ln x-x2+m,则g(x)=2x-2x=-2(x+1)(x-1)x.因为x1e,e,所以当g(x)=0时,x=1.当1ex
18、0;当1xe时,g(x)0.故g(x)在x=1处取得极大值g(1)=m-1.又g1e=m-2-1e2,g(e)=m+2-e2,g(e)-g1e=4-e2+1e20,则g(e)0,g1e=m-2-1e20,解得1m2+1e2,所以实数m的取值范围是1,2+1e2.20.(1)解 由题设,f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x-1,当0x0,f(x)单调递增;当x1时,f(x)0,f(x)单调递减.(2)证明 由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0,所以当x1时,ln xx-1.故当x(1,+)时,ln xx-1,ln 1x1x-1,即1x-1lnx1,设g(x)=1+
19、(c-1)x-cx,则g(x)=c-1-cxln c,令g(x)=0,解得x0=lnc-1lnclnc.当x0,g(x)单调递增;当xx0时,g(x)0,g(x)单调递减.由(2)知1c-1lncc,故0x01.又g(0)=g(1)=0,故当0x0.所以当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.21.解 (1)当m=2时,f(x)=(x-2)ex(x(0,+),f(x)=(x-1)ex,令f(x)0,有x1,f(x)在(1,+)上为增函数.令f(x)0,有0x0对于x(0,+)恒成立,即f(x)-m-1对于x(0,+)恒成立,由函数的解析式可得:f(x)=exx-(m-1),分类讨论:当m1时,f(x)在(0,+)上为增函数,f(x)f(0)=-m,-m-m-1恒成立,m1.当m1时,在(0,m-1)上为减函数,f(x)在(m-1,+)上为增函数.f(x)min=f(m-1)=-em-1,-em-1-m-1,em-1-m-11),g(m)=em-1-10(m1),g(m)在(1,+)上递增,而mZ,g(2)=e-30,在(1,+)上存在唯一m0,使得g(m0)=0,且2m03,mZ,m最大整数值为2,使em-1-m-10对于x(0,+)恒成立.
