1、高考资源网（） 您身边的高考专家命题探秘二高考中的圆锥曲线问题第1课时圆锥曲线中的定点、定值问题技法阐释求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关(2)直接推理法：选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)g(x，y)0的形式(k是原方程中的常量)；根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组以中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决高考示例思维过程(2019全国卷)已知曲
2、线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.由于yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1，整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10，所以直线AB过定点.(2)略. 技法一直接推理解决直线过定点问题典例1(2020临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P为坐标平面内的一点，且|，O为坐标原点(1)求椭
3、圆C的方程；(2)设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线MA，MB的倾斜角分别为，且.证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标思维流程解(1)设P点坐标为(x0，y0)，F1(c,0)，F2(c,0)，则(cx0，y0)，(cx0，y0)由题意得解得c23，c.又e，a2.b2a2c21.所求椭圆C的方程为y21.(2)设直线AB方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程消去y得(4k21)x28kmx4m240.x1x2，x1x2.又由，tan tan 1，设直线MA，MB斜率分别为k1，k2，则k1k21，1，即(x12)(x22)y1y2.(x12)(
4、x22)(kx1m)(kx2m)，(k21)x1x2(km2)(x1x2)m240，(k21)(km2)m240，化简得20k216km3m20，解得m2k，或mk.当m2k时，ykx2k，过定点(2,0)，不合题意(舍去)当mk时，ykxk，过定点，直线AB恒过定点.点评：动直线l过定点问题的基本思路设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0) 技法二直接推理解决曲线过定点问题典例2(2019北京高考)已知抛物线C：x22py经过点(2，1)(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线
5、l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点思维流程解(1)由抛物线C：x22py经过点(2，1)，得p2.所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1.(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，1)，设直线l的方程为ykx1(k0)由 得x24kx40.设M，N，则x1x24.直线OM的方程为yx.令y1，得点A的横坐标xA.同理得点B的横坐标xB.设点D(0，n)，则，(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0，即4(n1)20，则n1或n3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，3)点评：抓住圆的几何特
6、征：“直径所对的圆周角为90”，巧用向量0求得定点坐标，学习中应体会向量解题的工具性 技法三定直线的方程问题典例3已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求抛物线C的方程；(2)过点D(1,2)的直线l交C于点M，N，点Q为MN的中点，QRx轴交C于点R，且.证明：动点T在定直线上思维流程解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为F，所以过F且斜率为1的直线的方程为yx.由消去y并整理，得x22pxp20，易知0.则x1x22p，y1y2x1x2p3p，所以|AB|y1y2p4p8，解得p2.于是抛物线C的方程为x24y.(2
7、)证明：法一：易知直线l的斜率存在，设l的方程为yk(x1)2，Q(x0，y0)，M，N.由消去y并整理，得x24kx4k80.则(4k)24(4k8)16(k2k2)0，x3x44k，x3x44k8，所以x02k，y0k(x01)22k2k2，即Q(2k,2k2k2)由点R在曲线C上，QRx轴，且，得R(2k，k2)，R为QT的中点，所以T(2k，k2)因为2k2(k2)40，所以动点T在定直线x2y40上法二：设T(x，y)，M，N.由得(x3x4)(x3x4)4(y3y4)，所以.设Q(x，y5)，则直线MN的斜率k，又k，点Q的横坐标x，所以，所以y5x(x1)2.由知点R为QT的中点
8、，所以R.又点R在C上，将代入C的方程得x22(y5y)，即x42y0，所以动点T在定直线x2y40上点评：本题第(2)问给出了探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法：方法一是参数法，即先利用题设条件探求出动点T的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点T在定直线上；方法二是相关点法，即先设出动点T的坐标为(x，y)，根据题设条件得到已知曲线上的动点R的坐标，再将动点R的坐标代入已知的曲线方程，即得动点T在定直线上 技法四直接推理解决定值问题典例4在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m，n，m
9、n0.(1)求证：k1k2；(2)试探求OPQ的面积S是否为定值，并说明理由思维流程解(1)证明：k1，k2均存在，x1x20.又mn0，y1y20，即y1y2，k1k2.(2)当直线PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，由，得y0.又点P(x1，y1)在椭圆上，y1，|x1|，|y1|.SPOQ|x1|y1y2|1.当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxb.联立得方程组 消去y并整理得(4k21)x28kbx4b240，其中(8kb)24(4k21)(4b24)16(14k2b2)0，即b20)SPOQ|PQ|b|2|b|1.综合知POQ的面积S为定值1.点评：圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得- 8 - 版权所有高考资源网
