1、14.2 数列的极限巩固夯实基础 一、自主梳理 1.数列极限的定义 一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某个常数a(即|an-a|无限地接近于0)，那么就说数列an以a为极限. 注:a不一定是an中的项. 2.几个常用的极限 (1)C=C(C为常数)；(2)=0；(3)qn=0(|q|0) qn=0=-1 C=C(C为常数)A.2 B.3 C.4 D.都不正确解析:正确.答案:B2.已知数列log2(an-1)(nN*)为等差数列,且a1=3,a3=5,则(+)等于( )A.2 B. C.1 D.解析:令bn=log2(an-1),则bn成等差数列,b1=log22
2、=1,b2=log24=2,可知数列bn=n=log2(an-1),an=2n+1,则an+1-an=2n+1+1-(2n+1)=2n,即求(+)=1.答案:C3.下列四个命题中正确的是( )A.若An2=A2，则an=AB.若An0，An=A，则A0C.若An=A，则An2=A2D.若 (An-bn)=0，则An=bn解析:排除法，取an=(-1)n，排除A；取an=，排除B；取An=bn=N，排除D答案:C4.计算:=_.解析:=3.答案:35. =_.解析:=.答案:链接提示 求数列极限时,如是不定型(,-等),应先变形,再求极限.诱思实例点拨【例1】数列an中,a1=,an+an+1=
3、,nN*,则(a1+a2+an)等于( )A. B. C. D.解析:an+an+1=, a1+a2=,a3+a4=,a5+a6=,. (a1+a2+a3+a4+a5+a6+an) =(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+=(+)=.答案:C讲评:本题考查数列与极限.解本题重在数列求和,关键在于转化为无穷递缩等比数列.【例2】 求下列极限:(1)；(2)(-n)；(3)(+).剖析:(1)因为分子、分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子、分母同除以n2后再求极限；(2)因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；(3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和
4、再求极限.解:(1)=. (2)(-n)= =. (3)原式= =(1+)=1.讲评:当n时,(1)如果出现型,常上、下同除以n的多项式;(2)若出现型,常需约去“0”因子;(3)若出现-型,需化简或有理化.链接提示 对于(1)要避免下面两种错误:原式=1, (2n2+n+7),(5n2+7)不存在，原式无极限.对于(2)要避免出现下面两种错误:(-n)=-n=-=0；原式=-n=-不存在.对于(3)要避免出现原式=+=0+0+0=0这样的错误.【例3】已知数列xn满足x2=,xn=(xn-1+xn-2),n=3,4,.若xn=2,则x1等于( )A. B.3 C.4 D.5剖析:由xn=(x
5、n-1+xn-2)可找出相邻两项之间的递推关系,再进一步求xn,利用xn=2可求x1.解析:xn=(xn-1+xn-2),两边减去xn-1得xn-xn-1=-(xn-1-xn-2), =-,即xn-xn-1是以x2-x1为首项,公比为-的等比数列, xn-xn-1=(-)(-)n-2. x2-x1=-, x3-x2=-(-), x4-x3=-(-)2, xn-xn-1=(-)(-)n-2. 相加得xn-x1=-=. (*) xn=2,(*)式两边取极限,得2-x1=-, x1=3.答案:B讲评:本题重在考查数列的通项、求和、迭加法求通项、极限的运算法则等知识,综合性较强.【例4】 若数列an的首项为a1=1,且对任意nN*,an与an+1恰为方程x2-bnx+cn=0的两根,其中0|c|1. 0|c|1, 0c或-1c0. 故c的取值范围是(-1,0)(0,.讲评:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将bn的各项和表示为关于c的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.