1、课时分层训练(三十一)等差数列及其前n项和(对应学生用书第258页)A组基础达标一、选择题1已知数列an是等差数列，a1a78，a22，则数列an的公差d等于()A1B2C3D4C法一：由题意可得解得a15，d3.法二：a1a72a48，a44，a4a2422d，d3.2(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100B99C98D97C法一：an是等差数列，设其公差为d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199198.故选C.法二：an是等差数列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差数列an中，a5，a10，a15，a
2、100成等差数列，且公差da10a5835.故a100a5(201)598.故选C.3设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sn2Sn36，则n()A5B6C7D8D由题意知Sn2Snan1an22a1(2n1)d22(2n1)36，解得n8.4(2017全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A24B3C3D8A由已知条件可得a11，d0，由aa2a6可得(12d)2(1d)(15d)，解得d2.所以S66124.故选A.5(2018云南二检)已知等差数列an中，a111，a51，则an的前n项和Sn的最大值是()【导学号
3、：79140173】A15B20C26D30C设数列an的公差为d，则d(a5a1)3，所以an113(n1)143n，令an143n0，解得n，所以Sn的最大值为S4411(3)26，故选C.二、填空题6在等差数列an中，公差d，前100项的和S10045，则a1a3a5a99_.10S100(a1a100)45，a1a1000.9a1a99a1a100d0.4，则a1a3a5a99(a1a99)0.410.7九章算术是我国第一部数学专著，下面有源自其中的一个问题：“今有金箠(chu)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问金箠重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细
4、，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问金箠重多少斤？”根据上面的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，则答案是_15斤由题意可知金箠由粗到细各尺的重量成等差数列，且a14，a52，则S515，故金箠重15斤8在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_. 【导学号：79140174】由题意，当且仅当n8时Sn有最大值，可得即解得1d.三、解答题9在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a1
5、1，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN，故k7.10已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk110.(1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项公式bn，证明：数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn.解(1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k.由Sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)证明：由(1)得Sn
6、n(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn.B组能力提升11(2018呼和浩特一调)等差数列an中，a28，前6项的和S666，设bn，Tnb1b2bn，则Tn()A1B1C.DD由题意得解得所以an2n4，因此bn，所以Tn，故选D.12设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列”已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“吉祥数列”，则数列bn的通项公式为()Abnn1Bbn2n1Cbnn1Dbn2n1B设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(
7、2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k，所以数列bn的通项公式为bn2n1.13设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则正整数m的值为_5因为等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，所以amSmSm12，am1Sm1Sm3，数列的公差d1，amam1Sm1Sm15，即2a12m15，所以a13m.由Sm(3m)m10，解得正整数m的值为5.14已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数. 【导学号：79140175】(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题设知anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由题设知a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列