1、考点05 函数与方程一、考纲要求内容要求ABC函数的图像函数与方程1、了解二次函数的零点与相对应的一元二次方程的根的联系2、了解二分法求方程近似解的过程3、会用函数的图像理解和研究函数的性质4、掌握数形结合的思想，以及能运用数形结合解决一些函数问题。二、近五年高考分析年份2015年2017年2018年2019年考查的知识点函数图像交点问题，以及函数的零点问题函数的周期性，函数的图像以及函数的单调性及零点问题函数的的零点和最值函数与方程的思想，零点的个数函数与方程的思想是数学的四大思想之一，也体现了数形结合的思想，是近几年江苏高考的热点也是江苏高考的重点，经常体现在填空题的后几天或者大题的压轴题
2、。通过近几年江苏高考不难发现高考对函数的方程即函数的零点以及函数的性质等是函数重点考查的内容，在复习中要重点关注。三、考点总结在高考复习中要注意以下几点：要熟悉一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函数等基本函数的图像，会处理含义绝对值函数的图像，等根据函数的图像的变换处理一些较为复杂的函数的图像问题。解决函数零点问题要用到以下方法（1）直接法，即求方程的根（2）定理法，利用函数零点存在性定理估计零点的范围。（3）数形结合，即与函数的图像结合找出函数的零点。正确掌握函数与方程的思想，能正确的对函数与图像进行转化。能借助于图像解决函数与方程的问题。四、 五年真题1、（2019年江苏卷）.设
3、是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_.【答案】.【解析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.【详解】当时，即又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可. 当时，函数与的图象有个交点；当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.【点睛】本题考点为参数的取
4、值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.2、（2018年江苏试卷） 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_【答案】3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等解析：由得，因为函数在上有且仅有一
5、个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ， 3、（2017年江苏试卷） 设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1)上，,其中集合D，则方程f(x)lgx0的解的个数是_.【答案】 8【解析】首先f(x)0,1)，所以方程f(x)lgx的解x01,10)由图像可知，在9,10)上方程无解，方程在1,9)上的整数解只有x1.再按xkD和xkD两种情况，讨论f(x)lgx在(k，k1)上的解，其中k1,2，8. 若xkD，且x(k，k1)，其中k1,2,3，8，设xk，nN*且n2.则方程为lg，即10(n1)2n2，这样的n不存在若xkD，且x(k，k1)，其中k
6、1,2，8，则方程为xklgx.记g(x)xlgxk，则g(x)110，所以g(x)在(k，k1)上递增因为g(k)lgk，g(k1)1lg(k1)0，所以在(1,2)内无解，当k2,3，8时，在x(k，k1)内各恰有一解，共有7解与类似，可证这些解都是无理数，从而满足xkD.综上所述，方程共有8解 对于解答题，尽量不用“由图像可知”，可把“思路分析”中的内容并入，并稍作改动，例如在中允许n1，则k1，得x1.试试写一下另外，若把题中的D改为区间0,1)中的所有有理数组成的集合，再试做一下4、（2015年江苏试卷） 已知函数f(x)|lnx|，g(x)则方程|f(x)g(x)|1实根的个数为_
7、【答案】 4【解析】思路分析将方程|f(x)g(x)|1转化为两个方程f(x)g(x)1来加以讨论，然后将它们进一步地转化为f(x)1g(x)，从而在同一个直角坐标系中作出它们的图像，由图像来得到它们的交点的个数解法1 当01时，由|f(x)g(x)|1得|lnx|3|x24|或|lnx|1|x24|，分别在同一个直角坐标系中作出函数y|lnx|与y3|x24|(如图1)或y|ln x|与y1|x24|的图像(如图2) .图1图2由图可知，当x1时，它们分别有1个、2个交点，故x1时，方程有3个实根综上，方程|f(x)g(x)|1共有4个不同的实根解法2 f(x)g(x)由|f(x)g(x)|
8、1得f(x)g(x)1.(1) 考察解得x，即方程|f(x)g(x)|1在区间(0,1上有一个实根；(2) 考察设h(x)x22lnx，h(x)2x，在区间(1,2)上，h(x)0，故h(x)在区间(1,2)上单调递减，且h(1)1，h(2)2ln21，所以方程|f(x)g(x)|1在区间(1,2)上有一个实根；(3) 考察设m(x)x26lnx，此函数在区间2，)上为增函数，且m(2)ln221，所以方程|f(x)g(x)|1在区间2，)上有两个实根综上，方程|f(x)g(x)|1实根个数为4. 利用函数的图像，是研究方程的解的个数的最为有效的方法一般地，可将所研究的方程转化为两个函数的图像
9、的交点来加以研究五、 三年模拟题型一： 判断函数零点个数问题1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间2，4)上则函数的零点的个数为 【答案】5【解析】因为f(x4)f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由yf(x)log5| x|0，得f(x)log5| x|，分别画出yf(x)和ylog5|x|的图像，如下图，由f(5)f(1)1，而log551，f(3)f(1)1，log5|3|1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5. 本题考
10、查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点2、(2017南通期末） 已知函数f(x)是定义在1，)上的函数，且f(x)则函数y2xf(x)3在区间(1,2 015)上的零点个数为_【答案】11【解析】解法1 由题意得当1x2时，f(x)设x2n1,2n)(nN*)，则1,2)，又f(x)f，当时，则x2n1,32n2，所以f(x)f，所以2xf(x)32x30，整理得x222n2x322n40.解得x32n2或x2n2.由
11、于x2n1,32n2，所以x32n2；当时，则x(32n2,2n)，所以f(x)f，所以2xf(x)32x30，整理得x242n2x322n40.解得x32n2或x2n2.由于x(32n2,2n)，所以无解综上所述，x32n2.由x32n2(1,2 015)，得n11，所以函数y2xf(x)3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.解法2 由题意得当x2n1,2n)时，因为f(x)f，所以f(x)maxf.令g(x).当x2n1时，g(x)g，所以当x2n1,2n)时，x2n1为y2xf(x)3的一个零点下面证明：当x2n1,2n)时，y2xf(x)3只有一个零点当x2n1,32n2时，y
12、f(x)单调递增，yg(x)单调递减，f(32n2)g(32n2)，所以x2n1,32n2时，有一零点x32n2；当x(32n2,2n)时，yf(x)，k1f(x)，g(x)，k2g(x)，所以k1k2.又因为f(32n2)g(32n2)，所以当x2n1,2n)时，y2xf(x)3只有一个零点由x32n2(1,2 015)，得n11，所以函数y2xf(x)3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.解法3 分别作出函数yf(x)与y的图像，如图，交点在x1，x23，x36，xn32n2处取得由x32n2(1,2 015)，得n11，所以函数y2xf(x)3在区间(1,2 015)上零点的个数
13、是11.题型二：函数的图像问题1、(2019扬州期末）已知函数f(x)a3|xa|有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_【答案】 或1【解析】函数f(x)有且仅有三个零点，通常转化为方程f(x)0有三相异实根，再转化为两个新函数的图像有三个不同的交点，这两个新函数如何构建是关键，通常的原则是：一是两个新函数图像是常见初等函数图像，二是一个函数图像是定的，另一个函数图像是动的，三是参数放在直线型中，即定曲线动直线，这样便于解决问题，基于这三点，所以构造的是函数y3与y|xa|a的图像有且仅有三个不同的交点，再通过分类讨论的思想方法和三个零点构成等差数列建立关于a的方程，从
14、而求得a的值 注意所研究的函数为分段函数f(x)因此，分别来研究每一段中的零点的个数，由于函数分为两段，因此，只有两种可能，一段为两个零点，另一段为一个零点另外，注意到当xa时，函数为f(x)x3不含参数，可以直接求解，因此需对这两个零点是否在解法1由f(x)a3|xa|0，得3|xa|a，原函数有三个零点，即可转化为函数y3与y|xa|a图像有且仅有三个不同的交点，设三个交点的横坐标为x1，x2，x3，且x1x20.如图1所示由解得x21，x34.又三个零点构成等差数列，则x2，得x16，则有3(6)2a，解得a符合题意(2)a0，但a0，则a满足题意解法2因为f(x)所以由f(x)x30得
15、x1或4.(1)若1a，即a1时，由于函数有三个零点，且成等差数列，所以，另一个零点x01，故24x0，从而x06，故632a0，解得a，满足条件；(2)若1a，即a1时，设函数f(x)x32a(xa)的两个零点为x1，x2(x10，而a1，则a满足题意综上，实数a的值为或.2、(2018扬州期末） 已知函数f(x)若存在实数k使得该函数的值域为2，0，则实数a的取值范围是_【答案】 【解析】根据函数f(x)的解析式作出草图如图，当x1，k时，f(x)log(x1)1，它在1，1)上是单调递增的，且f(1)2，f0，因为该函数在1，a上的值域为2，0，所以必须有1k；当x(k，a时，f(x)2
16、|x1|，在(，1上单调递增，在1，)上单调递减，且f(0)f(2)2，f(1)0，因为函数的值域为2，0，所以必须有0ka2.综合，要求存在实数k使得该函数的值域为2，0，则必须0ka2.所以实数a的取值范围为. 这里易错写成，对于区间端点究竟是开还是闭，可通过检验的方式判定，这里若a，f(a)f1，因为ka，f(k)0时，当且仅当点(16，8)在直线yk(x3)的上方且点(32，16)在直线yk(x3)的下方(或在其上)时，两图像有两个公共点，可求出k；当k0时，当且仅当点(2，1)在直线yk(x3)的上方时，两图像有两个公共点，可求出1k0，故所求的实数k的取值范围是(1，0). 这个函
17、数题型是2015年，2016年的热点，又出现在今年的复习迎考中，难点在于yf(x)第二段图像的寻找和画出，其实是图像的平移与变换的应用，注意观察其特征，即可轻易得出后一段图像均为前一段图像的模纵坐标伸长到原来2倍所得本题为填空题，也可直接用具体的数去算，发现规律，然后再画出示意图，最后是利用数形结合寻找到符合题意的临界位置，最后进行求解最终的答案2、(2019通州、海门、启东期末）函数f(x)有3个不同的零点，则实数a的取值范围为_【答案】 注意到x1时，f(x)x22ax的零点是可求的，即x0(舍去)或x2a，为此，就需要对2a是否小于1来进行讨论，若2a大于或等于1，则需要x1时，f(x)
18、有三个零点，从而通过数形结合的方式来加以研究；若2a小于1，则需要x1时，f(x)有两个零点，从而通过数形结合的方式来加以研究，进而得到问题的答案由x22ax0得x0或x2a，因为x1，所以x0不合题意(1)当2a1，即a0不满足条件，故不成立若yxa与yex相交(如图2)，此时要有两个交点，必需，解得1a1，即a时，如图3，此时只可能有一个交点，故不成立综上，实数a的取值范围是.3、(2018南京、盐城一模） 设函数f(x)是偶函数，当x0时，f(x)若函数yf(x)m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是_【答案】先画出x0时的函数图像，再利用偶函数的对称性得到x1)相切，设切点(x0，l
19、nx0)，则切线斜率为k，又k，则，解得x0e3，此时k，当k0时，当ykx2与曲线y相切于点(0，2)时，函数yf(x)和ykx2的图像只有三个公共点，不符合题意，此时k1，当1k0时，函数yf(x)和ykx2的图像只有三个公共点，不符合题意，当直线ykx2与yf(x)(0x1)相切时，两图像只有三个公共点，设切点(x0，lnx0)，则切线的斜率k，又k，则，解得x0e1，此时ke不符合题意，当ke时，两图像只有两个公共点，不合题意，而当ek1时，两图像有4个公共点，符合题意，所以实数k的取值范围是(e，1) 方程解的个数的判断，常转化为函数图像公共点个数的判断，在转化的过程中，一般将它转化
20、为一个确定的函数与一个不确定的函数，这样，只需要研究不确定的函数的图像的变化情况就可以得到问题的解转化时有时也会做一些“技术”上的处理，比如本题可以知方程f(x)kx2一定有一个零解，在x0时，可以转化为直线yk与曲线y有三个公共点来处理，这样做的好处是在画出两图像后很容易得到k的取值范围，但曲线画起来难度增加了5.(2018南京、盐城、连云港二模） 已知函数f(x)tR.若函数g(x)f(f (x)1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为_【答案】4，0) 本题是“复合函数零点”问题，常见思路是借助函数图像，由求外函数零点切入，进而再分析内函数零点个数当x0时，有f(x)3x26x3x(2x
21、)，故函数f(x)在区间(，0)上单调递减，则函数f(x)在区间(，0)上至多一个零点，进而分类讨论即可当x0时，有f(x)3x26x3x(2x)，故函数f(x)在区间(，0)上单调递减，此时f(0)t.当t0时，令f(x)0得，x0，从而当g(x)f(f(x)1)0时，f(x)1，借助图像1知，此时至多两个零点，不符合题意；当t0时，令f(x)0得，x0，或xm(m0)，且m33m2t0，从而当g(x)f(f(x)1)0时，f(x)10或f(x)1m，即f(x)1或f(x)1m，借助图像2知，欲使得函数g(x)恰有4个不同的零点，则m10，从而1m0，故t(m)在区间1，0)上单调递增，从而
22、t4，0),图1),图2)6.(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 设函数f(x)(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m的取值范围是_【答案】 (1，)【解析】解法1(直接法) 当x0时，令f(x)ex0，解得xln20，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x0时，f(x)x33mx2有2个不同的零点，因为f(x)3x23m，令f(x)0，则x2m0，若m0，则函数f(x)为增函数，不合题意，故m0，所以函数f(x)在(，)上为增函数，在(，0上为减函数，即f(x)maxf()m3m22m2，f(0)20，即m1，故实数m
23、的取值范围是(1，)解法2(分离参数) 当x0时，令f(x)ex0，解得xln20，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x0时，f(x)x33mx2有2个不同的零点，即x33mx20，显然x0不是它的根，所以3mx2，令yx2(x0)，则y2x，当x(，1)时，y0，此时函数单调递增，故ymin3，因此，要使f(x)x33mx2在(，0)上有两个不同的零点，则需3m3，即m1. 已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成
24、求函数值域问题加以解决，解法2就是此法它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解这里采用方法是(1)和(3)的结合7、(2017苏州暑假测试） 已知函数若关于x的方程f(x)k(x1)有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是_【答案】 【解析】思路分析 方程f(x)k(x1)的实数根的个数可以理解为函数yf(x)与函数yk(x1)交点的个数，因此，在同一个坐标系中作出它们的图像，由图像来观察它们的交点的个数在同一个直角坐标系中，分别作出函数yf(x)及yk(x1)的图像，则函数f(x)maxf(1)1，设A(1,1)，B(1,0)，函数yk(x1)过点B，则由图可知要使关于x的方程f(x)k(x1)有两个不同的实数根，则0kkAB.解后反思 (1)运用函数图像解决问题时，先要正确理解和把握函数图像本身的含义及其表示的内容，熟悉图像所能够表达的函数的性质(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图像的关系，结合图像研究
