1、数列的概念与简单表示法建议用时：45分钟一、选择题1数列0,1,0，1,0,1,0，1，的一个通项公式an等于()A. Bcos Ccos DcosD令n1,2,3，逐一验证四个选项，易得D正确2若Sn为数列an的前n项和，且Sn，则等于()A. B. C. D30D当n2时，anSnSn1，所以5630.3记Sn为数列an的前n项和“任意正整数n，均有an0”是“Sn是递增数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A“an0”“数列Sn是递增数列”，“an0”是“数列Sn是递增数列”的充分条件如数列an为1,1,3,5,7,9，显然数列Sn是递增数列，但是a
2、n不一定大于零，还有可能小于零，“数列Sn是递增数列”不能推出“an0”，“an0”是“数列Sn是递增数列”的不必要条件“an0”是“数列Sn是递增数列”的充分不必要条件4(2019武汉5月模拟)数列an中，an12an1，a11，则a6()A32 B62 C63 D64C数列an中，an12an1，故an112(an1)，因为a11，故a1120，故an10，所以2，所以an1为等比数列，首项为2，公比为2.所以an12n即an2n1，故a663，故选C.5(2020无锡模拟)数列an满足an1若a1，则a2 020()A.B.C.D.D由a1，得a22a11，所以a32a2，所以a42a3
3、，所以a52a41a1.由此可知，该数列是一个周期为4的周期数列，所以a2 020a50444a4.故选D.二、填空题6已知数列，则5是它的第 项21数列，中的各项可变形为，所以通项公式为an，令5，得n21.7(2019镇海模拟)已知数列an满足a12，an1a(an0，nN*)，则数列an的通项公式an .22n1对an1a两边取对数，得log2an1log2a2log2an.所以数列log2an是以log2a11为首项，2为公比的等比数列，所以log2an2n1，所以an22n1.8在一个数列中，如果nN*，都有anan1an2k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公
4、积已知数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，则a1a2a3a12 .28a1a2a38，且a11，a22.a34，同理可求a41，a52.a64，an是以3为周期的数列，a1a2a3a12(124)428.9(2019洛阳模拟)已知数列an满足a150，an1an2n(nN*)，(1)求an的通项公式；(2)已知数列bn的前n项和为an，若bm50，求正整数m的值解(1)当n2时，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a12(n1)2(n2)222150250n2n50.又a15012150，an的通项公式为ann2n50，nN*.(2)b1a150，当n2时，b
5、nanan1n2n50(n1)2(n1)502n2，即bn.当m2时，令bm50，得2m250，解得m26.又b150，正整数m的值为1或26.10设函数f(x)log2xlogx4(0x1)，数列an的通项公式an满足f(2an)2n(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)判定数列an的单调性解(1)因为f(x)log2xlogx4(0x1)，f(2an)2n(nN*) ，所以f(2an)log22anlog2an4an2n，且02an1，解得an0.所以ann.所以数列an的通项公式为ann.(2)因为1.因为an0，所以an1an.故数列an是递增数列1已知数列an满足：a11，an
6、1(nN*)，若bn1(n)，b1，且数列bn是递增数列，则实数的取值范围是()A(2，) B(3，)C(，2) D(，3)C由an1，知1，即12，所以数列是首项为12，公比为2的等比数列，所以12n，所以bn1(n)2n，因为数列bn是递增数列，所以bn1bn(n)2n(n1)2n1(n1)2n10对一切正整数n恒成立，所以n1，因为nN*，所以2，故选C.2(2019临沂三模)意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，即F(1)F(2)1，F(n)F(n1)F(n2)(n3，nN*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化
7、学等都有着广泛的应用若此数列被2整除后的余数构成一个新数列an，则数列an的前2 019项的和为()A672 B673 C1 346 D2 019C由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，各项除以2的余数，可得an为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0，所以an是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为1102，因为2 0196733，所以数列an的前2 019项的和为67321 346，故选C.3(2019晋城三模)记数列an的前n项和为Sn，若Sn3an2n3，则数列an的通项公式为an .an2当n1时，S1a13a11，解得a1；当n2时，Sn3an2n3，Sn1
8、3an12n5，两式相减可得，an3an3an12，故anan11，设an(an1)，故2，即an2(an12)，故.故数列an2是以为首项，为公比的等比数列，故an2，故an2.4已知数列an中，a11，其前n项和为Sn，且满足2Sn(n1)an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)记bn3na，若数列bn为递增数列，求的取值范围解(1)2Sn(n1)an，2Sn1(n2)an1，2an1(n2)an1(n1)an，即nan1(n1)an，1，ann(nN)(2)由(1)知bn3nn2.bn1bn3n1(n1)2(3nn2)23n(2n1)数列bn为递增数列，23n(2n1)0，即为递
9、增数列，c12，即的取值范围为(，2)1(2019烟台、菏泽高考适应性练习一)已知数列：，(kN*)，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列an：1，则首次出现时为数列an的()A第44项 B第76项C第128项 D第144项C观察分子分母的和出现的规律：2,3,4,5，把数列重新分组：，可看出第一次出现在第16组，因为12315120，所以前15组一共有120项；第16组的项为，所以是这一组中的第8项，故第一次出现在数列的第128项，故选C.2已知二次函数f(x)x2axa(a0，xR)有且只有一个零点，数列an的前n项和Snf(n)(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设cn1(nN*)，定义所有满足cmcm10的正整数m的个数，称为这个数列cn的变号数，求数列cn的变号数解(1)依题意，a24a0，所以a0或a4.又由a0得a4，所以f(x)x24x4.所以Snn24n4.当n1时，a1S11441；当n2时，anSnSn12n5.所以an(2)由题意得cn由cn1可知，当n5时，恒有cn0.又c13，c25，c33，c4，c5，c6，即c1c20，c2c30，c4c50，所以数列cn的变号数为3.
