1、2012-2013学年广西柳州市铁路一中学高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1（5分）若sin20，且cos0，则角是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角考点：象限角、轴线角；任意角的三角函数的定义；二倍角的正弦专题：计算题；综合题分析：sin20，确定2的范围，再确定的范围；cos0，确定的象限，然后推出结论解答：解：由cos0，可知是二，三象限角；由sin20可知2是一、二象限角，是一、三象限角；所以是第三象限角故选C点评：本题考查象限角、轴线角，任意角的三角函
2、数的定义，二倍角的正弦，考查分析问题解决问题的能力，是基础题2（5分）已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A2BC2sin1Dsin2考点：弧长公式专题：计算题分析：解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值解答：解：如图：AOB=2，过点0作OCAB，C为垂足，并延长OC交 于D，AOD=BOD=1，AC=AB=1，RtAOC中，AO=，从而弧长为r=，故选B点评：本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键3（5分）（2012烟台一模）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比
3、赛得分的中位数之和是（）A63B64C65D66考点：众数、中位数、平均数；茎叶图专题：计算题；压轴题；图表型分析：由茎叶图找出两人的中位数，再求出它们的和解答：解：由图可以看出，甲比赛得分的中位数是36，乙比赛得分的中位数是27故、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是36+27=63故选A点评：本题考查众数、中位数、平均数，解题的关键是掌握住从数据中获取中位数的方法，属于基本概念题4（5分）某班5次数学测验中，甲、乙两同学的成绩如下（）甲：90 82 88 96 94； 乙：94 86 88 90 92A甲的平均成绩比乙好B甲的平均成绩比乙差C甲乙平均分相同，甲的成绩稳定性比乙好D甲乙平均分相
4、同，乙的成绩稳定性比甲好考点：众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差专题：计算题分析：利用公式求出两个样本的平均数和方差，分析两个人的成绩，作出评价，方差较小的，成绩较稳定解答：解：甲的平均数是=90乙的平均数是=90甲的方差是（0+64+4+36+16）=24乙的方差是=8，甲和乙的平均数相等，甲的方差大于乙的方差，故选D点评：本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，平均数描述了总体的集中趋势，方差描述其波动大小，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键5（5分）（2008武汉模拟）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A至
5、少有1个白球；都是白球B至少有1个白球；至少有1个红球C恰有1个白球；恰有2个白球D至少有一个白球；都是红球考点：互斥事件与对立事件分析：由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件的定义判断解答：解：A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A不对；B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对；C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对；D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对；故选C点
6、评：本题考查了互斥事件和对立事件的定义的应用，一般的做法是找出每个时间包含的试验结果再进行判断，是基础题6（5分）已知，则的值等于（）ABCD考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系专题：三角函数的求值分析：利用诱导公式把要求的式子化为cos（），即 ，从而得出结论解答：解：利用诱导公式可得 =cos（）=，故选C点评：本题主要考查利用诱导公式求三角函数的值，属于基础题7（5分）（2008四川）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（）A13B2CD考点：函数的值专题：压轴题分析：根据f（1）=2，f（x）f（x+2）=13先求出f（3）=
7、，再由f（3）求出f（5），依次求出f（7）、f（9）观察规律可求出f（x）的解析式，最终得到答案解答：解：f（x）f（x+2）=13且f（1）=2，故选C点评：此题重点考查递推关系下的函数求值；此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解8（5分）函数y=|tanx|cosx的一个对称轴及对称中心分别是（）A，（0，0）Bx=0，（，0）Cx=0，D，考点：正弦函数的对称性；同角三角函数间的基本关系专题：三角函数的图像与性质分析：化简函数可得y=，作出函数一个周期的图象，易得答案解答：解：去掉绝对值可得y=|tanx|cosx=，而由tanx0可得kxk+，kZ，故可
8、得y=，易知函数的周期为2，作出函数一个周期的图象可得：由图象可得函数的一个对称轴及对称中心分别是x=0，（，0）故选C点评：本题考查正弦函数的对称性，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题9（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c边最长，并且sin2A+sin2B=1，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形考点：三角形的形状判断专题：计算题；解三角形分析：先根据sin2A+sin2B=1以及sin2A+cos2A=1得到sin2B=cos2A；再结合是三角形的内角且c边最长得到sinB=cosA进而判断出三角形的形状解答：解：因为：sin
9、2A+sin2B=1而sin2A+cos2A=1；所以 sin2B=cos2A；c边最长A，B均为锐角故：sinB=cosA=sin（A）B=AA+B=ABC是直角三角形故选B点评：本题主要考查三角形的形状判断三角形的形状判断有两种常用方法：一是求出角之间的关系来下结论；二是求出边之间的关系来下结论10（5分）某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为（）ABCD以上全错考点：几何概型专题：概率与统计分析：先明确是几何概型中的面积类型，分别求三角形与圆的面积，然后求比值即可解答：解：设落在阴影部分内接正三角形上的概率
10、是P，圆的半径为R，S圆=R2，正三角形的面积SA=3R2sin120=R2P=故选B点评：本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率11（5分）已知A1，A2，An为凸多边形的内角，且lgsinA1+lgsinA2+lgsinAn=0，则这个多边形是（）A正六边形B梯形C矩形D含锐角菱形考点：对数的运算性质专题：计算题；转化思想分析：由于A1，A2，An为凸多边形的内角，lgsinAi0，（i=1，2，3，n）又lgsinA1+lgsinA2+lgsinAn=0从而lgsinAi=0sinAi=0Ai=90
11、最后得出这个多边形所有的角都是直角，从而解决问题解答：解：A1，A2，An为凸多边形的内角，lgsinAi0，（i=1，2，3，n）又lgsinA1+lgsinA2+lgsinAn=0lgsinAi=0sinAi=1Ai=90则这个多边形是矩形故选C点评：本小题主要考查对数的运算性质、实数的性质等基础知识，解答的关键是利用角的范围得出角的正弦的常用对数的取值范围属于基础题12（5分）（2010沈阳二模）已知x（0，关于x的方程有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）ABCD考点：正弦函数的图象；三角函数的最值专题：计算题；综合题分析：先求出的范围，确定有两个不同的实数解时，的范围，然后求出
12、实数a的取值范围解答：解：x（0，可得，关于x的方程有两个不同的实数解，所以a（，2）故选D点评：本题考查正弦函数的图象，三角函数的最值，做到心中有图，解题才会得心应手，是中档题二、填空题：本题共4小题，共20分.13（5分）已知sin（50）=m，则tan130=考点：诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系专题：三角函数的求值分析：由已知的等式求出sin50的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin50的值，进而求出tan50的值，所求式子利用诱导公式化简后代入计算即可求出值解答：解：sin（50）=sin50=m，sin50=m，cos50=，tan50=，则tan130=tan（18
13、050）=tan50=故答案为：点评：此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键14（5分）在区间，上随机取一个数x，sinx的值介于到之间的概率为考点：几何概型专题：计算题分析：解出关于三角函数的不等式，使得sinx的值介于 到 之间，在所给的范围中，求出符合条件的角的范围，根据几何概型公式用角度之比求解概率解答：解：sinx ，当x，时，x（，）在区间 上随机取一个数x，sinx的值介于 到 之间的概率P=，故答案为：点评：本题是一个几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，在解题过程中不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度
14、、面积、和体积的比值得到15（5分）已知x与y之间的一组数据为：则y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点 考点：线性回归方程专题：计算题分析：根据回归直线方程一定过样本中心点，先求出这组数据的样本中心点，即横标和纵标的平均数分别作横标和纵标的一个点，得到结果解答：解：回归直线方程必过样本中心点，样本中心点是（，4）y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点（，4）故答案为：（，4）点评：本题考查线性回归方程，本题是一个基础题，而求线性回归方程的问题，是运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，不然会前功尽弃16（5分）给出下列命题：sin21+sin22
15、+sin289=45；某高中有三个年级，其中高一学生600人，若采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，已知高二年级抽取20人，高三年级抽取10人，则该高中学生的总人数为1800；的图象关于点对称；从分别标有数字0，1，2，3，4的五张卡片中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中抽出一张卡片，则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率为其中正确命题的序号有考点：命题的真假判断与应用专题：证明题分析：利用互余角的正弦余弦之间的关系、平方关系即可得出；利用分层抽样的计算公式即可得出；利用三角函数图象与性质、中心对称的意义即可判断出；利用古典概型的概率计算公式即可得出解答：解：sin21+sin2
16、2+sin289=sin21+sin22+sin244+sin245+cos244+cos21=44+45，因此不正确；由题意可知：从高一年级抽取452010=15人，因此该高中学生的总人数=1800，故正确；=0，的图象关于点对称，故正确；从分别标有数字0，1，2，3，4的五张卡片中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中抽出一张卡片，共有55=25个基本事件：其中两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的包括以下5个基本事件：（0，4），（4，0），（1，3），（3，1），（2，2），两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率P=，故正确综上可知：故答案为点评：熟练掌握互余角的正弦余弦之间的关
17、系、平方关系、分层抽样的计算公式、三角函数的图象与性质、中心对称的意义是、古典概型的概率计算公式是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17（10分）已知函数（1）用五点作图法作出的f（x）图象；（2）求函数f（x）的单调递减区间考点：五点法作函数y=Asin（x+）的图象；正弦函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：（1）用五点法作函数在一个周期上的简图（2）令 2k+2x+2k+，kz，求得x的范围，即可求得函数f（x）的单调递减区间解答：解：（1）列表： 2x+ 0 2 x f（x） 0 2 02 0画出函数的图象：（2）令 2k
18、+2x+2k+，kz，可得 k+2x+k+，kz故函数f（x）的单调递减区间为k+，k+，kz点评：本题主要考查用五点法作函数y=Asin（x+）在一个周期上的简图，求函数y=Asin（x+）的减区间，属于中档题18（12分）用一不透明袋装有2个红球，3个黄球，除颜色不同外，其它特征均相同（1）有放回地连续摸出两个球，两个球颜色相同的概率是多少？（2）无放回地连续摸出两个球，两个球颜色不相同的概率是多少？考点：古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：（1）所有的摸法共有55=25种，其中，两个球颜色相同的摸法有 22+33=13种，由此求得两个球颜色相同的概率（2）所有的摸法共有55=2
19、5种，其中，两个球颜色不相同的摸法有 =6种，由此求得两个球颜色不相同的概率解答：解：（1）所有的摸法共有55=25种，其中，两个球颜色相同的摸法有 22+33=13种，故两个球颜色相同的概率是 （2）所有的摸法共有55=25种，其中，两个球颜色不相同的摸法有 =6种，故两个球颜色不相同的概率是点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题19（12分）（1）若，求sincos；（2）已知sin是方程2x27x+3=0的根，求考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（1）把原式去分母，两边平方，化简即可求出（2）先解方程求出
20、sin，再由诱导公式对已知式子进行化简，结合同角平方关系可求解答：解：（1）由已知得：sin+cos=2（sincos），平方得：1+2sincos=48sincos，sincos=（2）2x27x+3=0的两根是或3sin=tan当为第一象限时，cos=，tan=当为第二象限时，cos=，tan=点评：考查学生会进行三角函数中的恒等变换，灵活运用同角三角函数间的基本关系20（12分）某校从参加考试的学生中抽出100名学生，将其成绩（均为整数）分成六组40，50），50，60）90，100后画出如下频率分布直方图观察下图的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）、及
21、格人数和平均分；（2）现用分层抽样从成绩是50，60）和90，100）的学生中选四人，再从这四人中随机选出两人，求他们的分数之差不超过10分的概率考点：频率分布直方图；分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：（1）利用频率分布直方图中平均数等计算方法即可得出；（2）利用分层抽样和古典概型的概率计算公式即可得出解答：解：（1）及格率P=（0.015+0.03+0.025+0.005）10=0.75，及格人数=0.75100=75，平均分=0.145+0.1555+0.1565+0.375+0.2585+0.0595=71（2）成绩是50，60）和90，100）的学生数分别是0
22、.01510100=15，0.00510100=5分层抽样从成绩是50，60）和90，100）的学生中选四人，则分别选取=3人，=1人分别依次记为a，b，c，d从以上4人中任选2人共有以下6个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）其中满足“他们的分数之差不超过10分”只能是来自50，60）一组的：（a，b），（a，c），（b，c）依次所求的概率P=点评：熟练掌握频率分布直方图中平均数等计算方法、分层抽样和古典概型的概率计算公式是解题的关键21（12分）在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，（1）求这三段可以构成三角形的概率；（2）若分成的三段长度
23、恰好都为整数，求这三段能构成三角形的概率考点：几何概型；古典概型及其概率计算公式专题：计算题；概率与统计分析：（1）设分成的两段分别为x、y，则第三段为10xy，得到所有情况下的不等式组和能构成三角形的不等式组，在坐标系内作出两个不等式组对应的平面区域，分别计算它们的面积，用几何概型计算公式即可得到三段能构成三角形的概率（2）用列举的方法，找出三段均为正整数的所有情况总数，再从中找出能构成三角形的情况数，用古典概型计算公式即可算出三段能构成三角形的概率解答：解：（1）设分成的两段分别为x、y，则第三段为10xy，则有，（1）如果能构成三角形，则有，即（2）在坐标系内作出两个不等式组对应的平面区
24、域，得到如图所示不等式（1）对应的区域为OAB及其内部，其中A（0，10），B（10，0），O为坐标原点不等式（2）对应的区域为CDE及其内部，其中C（0，5），D（5，0），E（5，5）SOAB=1010=50，SCDE=55=，分成的三段能构成三角形的概率为P1=（2）将该线段分成三段均为正整数，只要确定其中两边长度即可得到三边长度其中两段的情况共有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（2，1），（2，2），（8，1）共36种，能构成三角形的情况有（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6种，分成的
25、三段长度恰好都为整数且这三段能构成三角形的概率为P2=答：（1）分成的三段能构成三角形的概率为；（2）分成的三段长度恰好都为整数且这三段能构成三角形的概率为点评：本题给出长度为10的线段分成3段，求这三段能构成三角形的概率，着重考查了几何概型、古典概型等计算公式知识，属于中档题22（12分）已知函数f（x）=sin2x4acosx，（1）当a=1时，求函数的最小值；（2）若f（x）的最小值为时，求a的值考点：复合三角函数的单调性；余弦函数的定义域和值域专题：三角函数的图像与性质分析：（1）当a=1时，令t=cosx，由于，可得 t0，1，f（x）=g（t）=（t+2）2+5，利用函数的单调性求
26、得g（t）的最小值（2）由于函数g（t）=t24at+1的对称轴为t=2a，t0，1，区间的中点为，分2a 以及2a 两种情况，分别根据最小值为，求得 a的值解答：解：（1）当a=1时，函数f（x）=sin2x4cosx=1cos2x4cosx=（cosx+2）2+5，令t=cosx，由于，t0，1故有f（x）=g（t）=（t+2）2+5，由于g（t）在0，1上是减函数，故g（t）的最小值为g（1）=4（2）由于函数g（t）=t24at+1的对称轴为t=2a，t0，1，区间的中点为，当2a 时，函数g（t）=t24at+1的最小值为 g（1）=4a=，解得 a=当2a 时，函数g（t）=t24at+1的最小值为 g（0）=1，不满足条件综上可得，a=点评：本题主要考查复合三角函数的单调性，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题