1、专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质A组一、选择题1.(2019山东临沂月考)y=x-12x-log2(4-x2)的定义域是() A.(-2,0)(1,2)B.(-2,0(1,2)C.(-2,0)1,2)D.-2,01,2答案C要使函数有意义,则x-12x0,x0,4-x20,解得x(-2,0)1,2),即函数的定义域是(-2,0)1,2).2.(2019课标全国,7,5分)函数y=2x32x+2-x在-6,6的图象大致为()答案B设f(x)=2x32x+2-x(x-6,6),则f(-x)=2(-x)32-x+2x=-f(x),f(x)为奇函数,排除选项C;当x=-1时, f(-1)=-45
2、0,g(x),x0,g(x),x0是奇函数,当xf(3)B. f(2)f(5)C. f(3)f(5)D. f(3)f(6)答案D函数y=f(x+4)为偶函数,f(-x+4)=f(x+4),函数y=f(x)的图象关于直线x=4对称,f(2)=f(6), f(3)=f(5).又函数y=f(x)在(4,+)上为减函数,f(5)f(6),f(3)f(6).5.(2019吉林长春质检)下列函数中,既是奇函数又在(0,+)上单调递增的是()A.y=ex+e-xB.y=ln(|x|+1)C.y=sinx|x|D.y=x-1x答案D选项A,B显然是偶函数,排除;选项C是奇函数,但在(0,+)上不是单调递增函数
3、,不符合题意;选项D中,y=x-1x是奇函数,且y=x和y=-1x在(0,+)上均为增函数,所以y=x-1x在(0,+)上为增函数,所以选项D正确.6.函数f(x)=x1-x2的图象大致是()答案B易知函数f(x)的定义域为x|x1, f(-x)=-x1-(-x)2=-x1-x2=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.当x(0,1)时, f(x)=x1-x20,排除D;当x(1,+)时, f(x)=x1-x2bcB.cabC.bcaD.acb答案D偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),f(x)的周期为2,a=f(-2.8)=f(-0.8),b=f(-1.6)=f(0.4)=f(-0.4),
4、c=f(0.5)=f(-0.5).-0.8-0.5cb.故选D.8.(2019安徽阜阳模拟)给定函数:y=x12,y=log12(x+1),y=|x-1|,y=2x+1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A.B.C.D.答案By=x12在(0,1)上递增;t=x+1在(0,1)上递增,且0121,y=2x+1在(0,1)上递增.综上,在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是.9.(2019湖南衡阳八中月考)设函数f(x)=4x23|x|,则函数f(x)的图象大致为()答案A观察函数解析式发现,x是以平方、绝对值的形式出现的,所以f(x)为偶函数,排除B.当x0时, f(x)=4x
5、23x,当x+时, f(x)0,排除C.因为f(2)=42232=1692,所以D不符合题意,所以选A.10.(2019云南昆明检测)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且f(x)在(-,0)上是减函数, f(2)=0,g(x)=f(x+2),则不等式xg(x)0的解集是()A.(-,-22,+)B.-4,-20,+)C.(-,-4-2,+)D.(-,-40,+)答案C画出函数的大致图象,如图所示.则xg(x)0x0,g(x)0或x0,g(x)0,数形结合,得xg(x)0的解集为(-,-4-2,+).11.(2019河北成安模拟)定义新运算:当ab时,ab=a;当ab时,ab=b2.则函数f
6、(x)=(1x)x-(2x),x-2,2的最大值为()A.-1B.1C.6D.12答案C当-2x1时, f(x)=x-2;当1x2时, f(x)=x3-2.又y=x-2,y=x3-2在R上都为增函数, 且f(x)在x=1处连续,f(x)的最大值为f(2)=23-2=6.12.(2019江西南昌一模)设函数f(x)=12|x-a|,xa+1,-|x+1|-a,xa+1,若f(x)的最大值不超过1,则实数a的取值范围是()A.-32,+B.-32,+C.-54,0D.-32,-54答案A当xa+1时, f(x)=12|x-a|在(-,a)上递增,在a,a+1)上递减, f(x)在x=a处取得最大值
7、1;当xa+1时, f(x)=-|x+1|-a.若a+1-1,即a-2,则f(x)递减,由已知可得-|a+2|-a1,解得a-32;若a+1-1,即a0,解得-40,则ff19=.答案9解析f19=log319=-2,ff19=f(-2)=13-2=9.15.已知f(x)=x+1x-1, f(a)=2,则f(-a)=.答案-4解析因为f(x)=x+1x-1,所以f(a)=a+1a-1=2,所以a+1a=3,所以f(-a)=-a-1a-1=-a+1a-1=-3-1=-4.16.(2019陕西西安模拟)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a0,且a1),若f(x)1在区间1,2上恒成立,则实数
8、a的取值范围是.答案1,83解析当a1时, f(x)1等价于8-axa在1,2上恒成立,即a8x+1min=83,所以1a83.当0a1等价于08-ax8x+1max且a4且a0时单调递增,且f(1)=0.若f(x-1)0,则x的取值范围是() A.x|0x2B.x|x2C.x|x3D.x|x1答案A奇函数f(x)在(0,+)上单调递增, 且f(1)=0,f(x)在(-,0)上单调递增, f(-1)=0,当-1x1时, f(x)0,f(x-1)0即-1x-11,解得0x2,选A.2.(2019福建福州模拟)设函数f(x)=0,x0,2x-2-x,x0,则满足f(x2-2)f(x)的x的取值范围
9、是()A.(-,-1)(2,+)B.(-,-2)(2,+)C.(-,-2)(2,+)D.(-,-1)(2,+)答案C当x0时, f(x)递增,且f(x)f(0)=0;当x0时, f(x)=0.若 f(x2-2)f(x),则x2-2x,且x2-20,解得x2或x1,若f(1)是f(x)的最小值,则实数a的取值范围是()A.-1,2)B.-1,0C.1,2D.1,+)答案Cf(x)=2|x-a|,x1,x+1,x1,若x1,则f(x)=x+12,易知f(x)=2|x-a|在(a,+)上递增,在(-,a)上递减.若a2的解集为()A.(2,+)B.0,12(2,+)C.0,22(2,+)D.(2,+
10、)答案B因为f(x)是R上的偶函数,且在(-,0上是减函数,所以f(x)在0,+)上是增函数,所以f(log2x)2=f(1)f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1或log2x2或0x12.所以选B.6.(2019山东济宁模拟)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对任意x1,x2(0,+),都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)f(b)f(c)B. f(b)f(a)f(c)C. f(c)f(a)f(b)D. f(c)f(b)f(a)答案C由题意可知, f(x)在(0,+)上是减函数,|a|=ln 1,b=(ln )2|a|,0c=ln 2f(|a|)f(b),又由已知得f(
11、a)=f(|a|),f(c)f(a)f(b).故选C.7.(2019福建厦门模拟)已知函数f(x)=x2+ex-12(x0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是()A.-,1eB.(-,e)C.1e,+D.(e,+)答案B由题意知,当x0,只需m(0)=e0-12-ln a0,解得0ae;若a0,当x-时,m(x)0,即m(x)=0在(-,a)上有解.综上,实数a的取值范围是(-,e).8.(2019河南郑州一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.718 2),且在区间e,2e上是减函数,令a=ln22,b=
12、ln33,c=ln55,则f(a),f(b), f(c)的大小关系(用“”连接)为()A. f(b)f(a)f(c)B. f(b)f(c)f(a)C. f(a)f(b)f(c)D. f(a)f(c)f(b)答案Af(x)是R上的奇函数, f(x+2e)=-f(x),f(x+2e)=f(-x),f(x)的图象关于直线x=e对称.f(x)在e,2e上为减函数,f(x)在0,e上为增函数,又易知0cabf(a)f(c).9.(2019四川师大附中模拟)设函数f(x)的定义域为D,且f(x)满足条件:若存在a,bD(a0,令=2x(0),2-+t=0有两个不相等的正实根,=1-4t0,t0,解得0t0
13、的解集为.答案x0x13或1x0时, f(log19x)f12或当log19xf-12,log19x12或-12log19x0,解得0x13或1x3.原不等式的解集为x0x13或1x0,则f(f(-1)=,若实数abc,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是.答案4(2,4解析f(f(-1)=f(21)=-4+8=4,因为abc,且f(a)=f(b)=f(c),所以-2a0b2x1 f(x2)+x2 f(x1),则称函数y=f(x)为“H函数”.下列函数为“H函数”的是()A. f(x)=sin xB. f(x)=3x-13xC. f(x)=x3-3xD. f(x)=x|x|
14、答案BD根据题意,对于任意两个不相等的实数x1,x2,都有x1 f(x1)+x2 f(x2)x1 f(x2)+x2 f(x1),即(x1-x2)f(x1)-f(x2)0恒成立,所以函数f(x)是定义在R上的增函数,即“H函数”为奇函数且在R上为增函数.对于A, f(x)=sin x是奇函数但不是R上的增函数,不符合题意;对于B, f(-x)=3-x-3x=-f(x),故f(x)为奇函数,由指数函数的性质可得f(x)在R上单调递增,符合题意;对于C, f(x)=x3-3x是奇函数,但在R上不是增函数,不符合题意;对于D, f(x)=x|x|=x2,x0,-x2,x0为奇函数且在R上为增函数,符合
15、题意.故选BD.2.对于函数y=f(x),若存在x0,使f(x0)+f(-x0)=0,则称点(x0,f(x0)是曲线f(x)的“优美点”.已知f(x)=x2+2x,x0,kx+2,x0,若曲线f(x)存在“优美点”,则实数k的取值范围是.答案(-,2-22解析由“优美点”的定义,可知若点(x0, f(x0)是曲线y=f(x)的“优美点”,则点(-x0,-f(x0)也在曲线y=f(x)上.如图,作出函数y=x2+2x(x0).设过定点(0,2)的直线y=k1x+2与曲线y=-x2+2x(x0)切于点A(x1, f(x1),则k1=y|x=x1=-2x1+2=-x12+2x1-2x1-0,解得x1=2或x1=-2(舍去),所以k1=-22+2.由图可知,若曲线y=f(x)存在“优美点”,则k2-22.
