1、三排列数(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.若=2,则m的值为()A.5B.3C.6D.7【解析】选A.根据题意,若=2,则有m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=2m(m-1)(m-2),即(m-3)(m-4)=2,解可得:m=5(m=2舍去).2.若6名学生排成两排,每排3人,则不同的排法种数为()A.36B.120C.720D.240【解析】选C.此问题可以看成求6名同学站成一排的方法数,即=720.3.计算=()A.12B.24C.30D.36【解析】选D.=76,=6,所以原式=36.4.由0,1,2,3,4,5组成的无重复数字的三位数中是5的倍数的有()A
2、.120个B.30个C.36个D.48个【解析】选C.因为5的倍数的特征是个位数字为5或0,所以按照个位数字分为两类:当个位数字为5时,首位数字从1,2,3,4中选一个,十位数字从0及余下的3个数字中选一个,所以有44=16个;当个位数字为0时,前面两位数字从1,2,3,4,5中选2个排列,所以有=54=20个,所以所求的三位数有16+20=36个.5.现有10名学生排成一排,其中4名男生,6名女生,若有且只有3名男生相邻排在一起,则不同的排法共有种()A.B.C.D.【解析】选D.采用捆绑法和插空法;从4名男生中选择3名,进而将3个相邻的男生捆在一起,看成1个男生,方法数是种,这样与第4个男
3、生看成是2个男生;然后6个女生任意排的方法数是种;最后在6个女生形成的7个空隙中,插入2个男生,方法数是种.综上所述,不同的排法共有种.6.10个人排队,其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法有()A.种B.-种C.种D.种【解析】选C.因为10个人排成一排,其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排,所以采用插空法来解,另外六人,有种结果,再在排列好的六人的七个空隙里,排列甲、乙、丙、丁,有种结果,根据分步乘法计数原理知共有种.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在学校国庆文艺晚会上,有三对教师夫妇参加表演节目,要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求,男教师的节目不能相邻,且
4、夫妻教师的节目也不能相邻,则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有种.(用数字填写答案)【解析】把6个节目按照先后出场顺序依次记为编号1,2,3,4,5,6,则3名男教师只有(1,3,5),(1,3,6),(1,4,6),(2,4,6)共4种位置安排,由于夫妻教师的节目又不能相邻,可得以上4种安排的每种安排里,3名女教师的安排均是1种,故该6名教师的节目不同的编排顺序共有4=24种.答案:248.三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起,可有种不同的排法.(2)如果女生必须全分开,有种不同的排法.【解析】(1)由于女生排在一起,可把她们看成一个整体,这样同五个男生合在一起有六个
5、元素,排成一排有种排法,而其中每一种排法中,三个女生间又有种排法,因此共有=4 320种不同排法.(2)先排5个男生,有种排法,这5个男生之间和两端有6个位置,从中选取3个位置排女生,有种排法,因此共有=14 400种不同排法.答案:(1)4 320(2)14 400三、解答题(每小题10分,共20分)9.七名班委中有A,B,C三人,有七种不同的职务,现对七名班委进行职务具体分工.(1)若正、副班长只能从A,B,C三人中选两人担任,有多少种分工方案?(2)若正、副班长至少要选A,B,C三人中的一人担任,有多少种分工方案?【解析】(1)先排正、副班长有种方案,再安排其余职务有种方案,依分步乘法计
6、数原理知,共有=720种分工方案.(2)七人中任意分工方案有种,A,B,C三人中无一人任正、副班长的分工方案有种,因此A,B,C三人中至少有一人任正、副班长的分工方案有-=3 600(种).10.用0,1,2,3,4,5这六个数字,完成下面两个小题.(1)若数字不允许重复,可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数?(2)若直线方程ax+by=0中的a,b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字,则直线方程表示的不同直线共有多少条?【解析】(1)当末位数字是0时,百位数字有4个选择,共有4=96(个);当末位数字是5,首位数字是3时,共有=24(个);当末位数字是5时,首位数字是
7、1或2或4时,共有33=54(个);故共有96+24+54=174(个).(2)a,b中有一个取0时,有2条;a,b都不取0时,有=20(条);a=1,b=2与a=2,b=4重复;a=2,b=1,与a=4,b=2重复.故共有2+20-2=20(条).(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分)1.3位数学家,4位物理学家,站成两排照相.其中前排3人后排4人,要求数学家要相邻,则不同的排队方法共有()A.5 040种B.840种C.720种D.432种【解析】选D.第一类:3位数学家相邻在前排有种;第二类:三位数学家相邻在后排,先
8、从4位物理学家中选3位排在前排有种,将3位数学家合一,与剩下的一名物理学家在后排排列有种,3位数学家再排有种,此类共有种,综上共有+=432(种).2.将9个相同的小球放入3个不同的盒子,要求每个盒子中至少有一个小球,且每个盒子里的小球个数都不相同,则不同的放法有()A.15种B.18种C.19种D.21种【解析】选B.每个盒子先放一个球,用去3个球,则不同放法就是剩余6个球的放法;有两类:第一,6个球分成1,5或2,4两组,共有2=12种方法;第二,6个球分成1,2,3三组,有=6种方法.所以不同放法共有12+6=18(种).3.(多选题)A,B,C,D,E五个人并排站在一起,则下列说法正确
9、的有()A.若A,B两人站在一起有24种方法B.若A,B不相邻共有72种方法C.若A在B左边有60种排法D.若A不站在最左边,B不站最右边,有78种方法【解析】选BCD.对于A,先将A,B排列,再看成一个元素,和剩余的3人,一共4个元素进行全排列,由分步乘法计数原理可知共有=48种,所以A不正确;对于B,先将A,B之外的3人全排列,产生4个空,再将A,B两元素插空,所以共有=72(种),所以B正确;对于C,5人全排列,而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的,所以A在B的左边的排法有=60种,所以C正确;对于D,对A分两种情况:一是若A站在最右边,则剩下的4人全排列有种,另一个是A不在最左边
10、也不在最右边,则A从中间的3个位置中任选1个,然后B从除最右边的3个位置中任选1个,最后剩下3人全排列即可,由分类加法计数原理可知共有+=78(种),所以D正确.4.中国诗词大会(第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词.在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若将进酒山居秋暝望岳送杜少府之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场,且将进酒排在望岳的前面,山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有()A.288种B.144种C.720种D.360种【解析】选B.根据题意分2步进行分析:将将进酒望岳和另外两首诗词全排列,则有=24种顺序,因为将进酒排在望岳的
11、前面,所以这4首诗词的排法有=12种.这4首诗词排好后,不含最后,有4个空位,在4个空位中任选2个,安排山居秋暝与送杜少府之任蜀州,有=12种安排方法,则后六场的排法有1212=144种.二、填空题(每小题5分,共20分)5.首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动.若甲连续参加2天,其他人各参加1天,则不同的安排方法有种;若甲参加2天,其中1天是第一天,其他人参加1天,则不同的安排方法有种.(用数字作答)【解析】在5天里,连续2天的情况,一共有4种,剩下的3人全排列有种,故一共有4=24(种);若甲参加第一天和剩下4天当中的一天,则等价于4人选择4天的全排列,
12、有种,即24种.答案:24246.现有完全相同的物理书4本,语文、数学、英语书各1本,把这7本书摆在书架的同一层,要求每一本物理书至少与另一本物理书相邻,则共有种摆法(用数字作答)【解析】第一类,把物理书看作1本,和另外三本书全排即可,即=24种,第二类,把4本物理书分每两本组合在一起,把语文、数学、英语排好,有=6种排列,将每两本物理书插入到所形成的空中,即有=36种,由分类加法计数原理可得共有24+36=60(种).答案:607.5位同学排队演出,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能相邻,且女生甲不能排在第一位,则排法种数为.【解析】若第一个出场的是男生,则第二个出场的是女生,以后的顺
13、序任意排,有23=36种排法;若第一个出场的是女生(不是女生甲),则将剩余的2位女生排列好,2位男生插空,有2=24种排法.故所有的排法种数为36+24=60.答案:608.用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的6位自然数.若要求相邻两个数字奇偶性不同,则可以组成个.(用数字作答)【解析】用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的6位自然数,若首位为偶数,则首位不为0,有2=24(个),若首位为奇数,则有:=36(个);故共有24+36=60(个).答案:60三、解答题(每小题10分,共30分)9.从6名运动员中选4人参加4100米接力赛,在下列条件下,各有多少种不同的排法?(1)甲、
14、乙两人必须入选且跑中间两棒;(2)甲不跑第一棒且乙不跑第四棒.【解析】(1)因为甲、乙两人必须入选且跑中间两棒,所以可分两步,第一步,排甲、乙两人,有=2种排法;第二步,从剩下4人选出两人来跑第一棒和第四棒,有=12种排法,所以共有212=24种排法.(2)以乙跑不跑第一棒分成两类:第一类,乙跑第一棒,有=60种排法;第二类,乙不跑第一棒,有=192种排法,所以共有60+192=252种排法.10.在班级活动中,4名男生和3名女生站成一排表演节目:(写出必要的数学式,结果用数字作答)(1)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的排法?(2)甲、乙、丙三人按高矮从左到右有多少种不同
15、的排法?(甲、乙、丙三位同学身高互不相等)(3)现在有7个座位连成一排,仅安排4个男生就座,恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种?【解析】(1)根据题意,分2种情况讨论:女生甲站在右端,其余6人全排列,有=720种情况,女生甲不站在右端,甲有5种站法,女生乙有5种站法,将剩余的5人全排列,安排在剩余的位置,有=120种站法,则此时有55120=3 000种站法,则一共有+55=720+3 000=3 720种站法.(2)根据题意,首先把7名同学全排列,共有种结果,甲、乙、丙三人内部的排列共有=6种结果,要使甲、乙、丙三个人按照一个高矮顺序排列,结果数只占6种结果中的一种,则有=840(种)
16、.(3)根据题意,恰好有两个空座位相邻分2种情况:两个相邻空座位在两边,1、2或6、7上,第三个空座有4种选择;两个相邻空座位在中间,可能是2、3,3、4,4、5,5、6中的一个,第三个空位有3种选择,4个男生全排列有=24种坐法,共(24+43)24=480种坐法.11.从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列,求解下列问题.(1)甲不在首位的排法有多少种?(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种?(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种?(4)甲不在首位,同时乙不在末位的排法有多少种?【解析】(1)方法一:把元素作为研究对象.第一类,不含甲,此时只需从甲以外的其他6
17、名同学中选出5名放在5个位置上,有种排法.第二类,含有甲,甲不在首位.先从4个位置中选出1个放甲,再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上,有种排法.根据分步乘法计数原理,有4种排法.由分类加法计数原理知,共有+4=2 160(种)排法.方法二:把位置作为研究对象.第一步,从甲以外的6名同学中选1名排在首位,有种方法;第二步,从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上,有种方法.由分步乘法计数原理知,共有=2 160(种)排法.方法三:(间接法):先不考虑限制条件,从7人中选出5人进行排列,然后把不满足条件的排列去掉.不考虑甲在首位的要求,总的可能情况有种,甲在首位
18、的情况有种,所以符合要求的排法有-=2 160(种).(2)把位置作为研究对象,先考虑特殊位置.第一步,从甲以外的6名同学中选2名排在首末两个位置上,有种方法;第二步,从未排上的5名同学中选3名排在中间3个位置上,有种方法.根据分步乘法计数原理,共有=1 800(种)方法.(3)把位置作为研究对象.第一步,从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置,有种方法;第二步,从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上,有种方法.根据分步乘法计数原理,共有=1 200(种)方法.(4)间接法.总的排法是种,减去甲在首位的种排法,再减去乙在末位的种排法.注意到甲在首位,同时乙在末位的排法数被减去了两次,所以还需加上种排法,所以共有-2+=1 860(种)排法.