1、第24章 圆一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）1. 如图，为O的直径，为弦，交于，（1）求证：，并求的长；（2）延长到，使，连接，判断直线与O的位置关系，并说明理由.1解：，. ，又， （舍负）（2）直线与相切连接为的直径，在中，由勾股定理，得，（或，是等边三角形，）又点A在圆上，直线与相切2. 已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DFBC，垂足为F（1）求证：DF为O的切线；（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；（3）求图中阴影部分的面积2（1）证明：连接DO. 是等边三角
2、形 ，C=60，A=60， OA=OD， 是等边三角形. ADO =60.DFBC ，CDF =30. FDO=180-ADO-CDF= 90.DF为O的切线. （2）是等边三角形，CD=AD=AO=AB=2. Rt中，CDF =30，CF=CD=1. DF=. （3）连接OE，由（2）同理可知E为CB中点，.，. 3、如图，已知圆O的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且（1）请证明：是的中点；（2）若，求的长3、（1）证明：连接，如图，且过圆心，是等边三角形 在中，点为的中点（2）解：在中，又， 4如图，AB是O的直径，点C在O上，BAC = 60，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的
3、延长线交于点Q，连结OC，过点C作交PQ于点D（1）求证：CDQ是等腰三角形；（2）如果CDQCOB，求BP:PO的值4 （1）证明：由已知得ACB=90，ABC=30，Q=30，BCO=ABC=30.CDOC，DCQ=BCO=30，DCQ=Q，CDQ是等腰三角形. （2）解：设O的半径为1，则AB=2，OC=1，AC=，BC=. 等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，CQ=BC=.AQ=AC+CQ=1+，AP=，BP=ABAP= PO=APAO=，BPPO=. 5 已知:如图, BD是半圆O的直径,A是BD延长线上的一点，BCAE，交AE的延长线于点C, 交半圆O于点E，且E为的中点. （
4、1）求证：AC是半圆O的切线；（2）若，求的长5.解：（1）连接OE, E为的中点， .，. .OEBC. BCAC， C=90. AEO=C=90. 即OEAC.又OE为半圆O的半径， AC是半圆O的切线. （2）设的半径为，. . .OEBC，. 即 .6.如图，内接于O，过点的直线交O于点，交的延长线于点，且AB2=APAD（1）求证：；（2）如果，O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长.6.解：（1）证明：联结BPAB2=APAD ，= BAD=PAB， ABDAPB， ABC=APB，ACB=APB， ABC=ACB AB=AC. （2）由（1）知AB=AC ABC=60，AB
5、C是等边三角形BAC=60， P为弧AC的中点，ABP=PAC=ABC=30， BAP=90， BP是O的直径， BP=2， AP=BP=1，在RtPAB中，由勾股定理得AB2= BP2AP2=3， AD=3 7如图，在ABC中，C=90, AD是BAC的平分线，O是AB上一点, 以OA为半径的O经过点D. （1）求证： BC是O切线；（2）若BD=5, DC=3, 求AC的长.7.（1）证明: 如图1，连接OD. OA=OD, AD平分BAC, ODA=OAD, OAD=CAD. ODA=CAD. OD/AC. ODB=C=90. BC是O的切线. 图1（2）解法一: 如图2，过D作DEAB
6、于E. AED=C=90.又 AD=AD, EAD=CAD, AEDACD. AE=AC, DE=DC=3. 在RtBED中，BED =90,由勾股定理，得 BE=. 图2设AC=x（x0）, 则AE=x.在RtABC中，C=90, BC=BD+DC=8, AB=x+4, 由勾股定理，得x2 +82= (x+4) 2. 解得x=6. 即 AC=6. 解法二: 如图3，延长AC到E，使得AE=AB. AD=AD, EAD =BAD, AEDABD. ED=BD=5. 在RtDCE中，DCE=90, 由勾股定理，得CE=. 5分 图3在RtABC中，ACB=90, BC=BD+DC=8, 由勾股定
7、理，得 AC2 +BC2= AB 2. 即 AC2 +82=(AC+4) 2.解得 AC=6. 8如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，且CDAB于E，连结AC、OC、BC.（1）求证：ACO=BCD；（2）若BE=2，CD=8，求AB和AC的长. 8、证明：（1）连结BD，AB是O的直径，CDAB， A=2又OA=OC，1=A2即：ACO=BCD解：（2）由（1）问可知，A=2，AEC=CEB.ACECBECE2=BEAE 又CD=8，CE=DE=4AE=8AB=10 AC= 9如图，已知为的直径，点、在上，垂足为，交于，且（1）求证：；（2）如果，求的长9解：（1）延长AD与O交于点G
8、直径BC弦AG于点D， AFB=BAE AE=BE， ABE=BAE ABE=AFB AB=AF （2）在RtEDB中，sinFBC=设ED=3x，BE=5x，则AE=5x，AD=8x，在RtEDB中，由勾股定理得BD=4x在RtADB中，由勾股定理得BD2+AD2=AB2 AB=4， x=1（负舍） AD=8x=8 10如图，已知直径与等边的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E，边AC过圆心O与圆O相交于点F、G。（1） 求证：； （2） 若的边长为a，求的面积.10. (1) 是等边三角形,AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，BD=BE.,有DE/AC. (2)分别连结OD、OE
9、,作EHAC于点H. AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，O是圆心，OD=OE，AD=EC.,有AO=OC=.圆O的直径等于的高,得半径OG=,CG=OC+OG=+. ,EH=. CGEH =(+),=. 11如图，在ABC中，BCA =90，以BC为直径的O交AB于点P，Q是AC的中点 （1）请你判断直线PQ与O的位置关系，并说明理由；（2）若A30，AP=，求O半径的长.11、解：（1）直线PQ与O相切. 连结OP、CP. BC是O的直径， BPC90 . 又 Q是AC的中点， PQ=CQ=AQ . 34. BCA =90， 2+4=90. 12， 1+3=90. 即 OPQ=90. 直
10、线PQ与O相切. （2） A30，AP=， 在RtAPC中，可求AC=4. 在RtABC中，可求BC=. BO=. O半径的长为. 12如图，已知点A是O上一点，直线MN过点A，点B是MN上的另一点，点C是OB的中点， ，若点P是O上的一个动点,且,AB=时，求APC的面积的最大值12、解:连结OA.由C是OB的中点,且,可证得 OAB=90. 则 O=60. 可求得OA=AC=2.过点O作OEAC于E，且延长EO交圆于点F则 P(F)E是PAC的AC边上的最大的高. 在OAE中,OA=2,AOE=30, 解得 . 所以 . 故 . 即 . 第13题图13如图，等腰ABC中，AB=AC=13，
11、BC=10，以AC为直径作交BC于点D，交AB于点G，过点D作的切线交AB于点E，交AC的延长线与点F.（1）求证：EFAB；（2）求cosF的值.第13题图13. 证明：（1）联结OD OC=OD ODC=OCD又AB=AC OCD=BODC=B ODAB ED是的切线，OD是的半径ODEF ABEF （2）联结AD、CGAD是的直径ADC=AGC=90ABEF DECGF=GCA AB=AC DC=BC=5RtADC中，ADBC=ABCGCG= RtCGA中，cosGCA=cosF=14（应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30的直
12、角三角尺按图示的方式测量.(1)若O分别与AE、AF交于点B、C，且AB=AC,若O与AF相切. 求证: O与AE相切；(2)在满足(1)的情况下，当、分别为AE、AF的三分之一点时，且AF=3，求的弧长. 14.解:（1）证明：连结OB、OA、OC. 根据题意,OCA=90. 在ABO与ACO中, AB=AC,OA=OA,OB=OC, 所以 ABOACO. 所以 OCA=OBA =90. 则 AE是圆的切线. (2)因OCA=OBA =90, 且 EAD=FAG =30, 则 BAC =120. 又 ,OAC =60, 故 . 所以 的长为.二、圆与相似综合15已知：如图，O的内接ABC中，
13、BAC=45，ABC =15，ADOC并交BC的延长线于D，OC交AB于E. （1）求D的度数；（2）求证：；（3）求的值. 图315（1）解：如图3，连结OB. O的内接ABC中，BAC=45， BOC =2BAC =90. OB=OC ， OBC =OCB =45. ADOC ， D =OCB =45. （2）证明： BAC =45，D =45， BAC =D . ADOC ， ACE =DAC . ACE DAC 图4（3）解法一：如图4，延长BO交DA的延长线于F，连结OA . ADOC ， F=BOC =90. ABC =15， OBA =OBC ABC =30. OA = OB ，
14、 FOA=OBAOAB =60，OAF =30. . ADOC ， BOC BFD ，即的值为2. 解法二：作OMBA于M，设O的半径为r，可得BM=，OM=，BE=，AE=，所以.16如图，O的直径为，过半径的中点作弦，在 上取一点，分别作直线，交直线于点.求和的度数；求证：；如图，若将垂足改取为半径上任意一点，点改取在 上，仍作直线，分别交直线于点.试判断：此时是否仍有成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由。 （1） （第16题） （2）16解：（1）AB为直径，. 在中，.又,.（2）证明：,.在和中，.又，.（3）结论仍成立. 证明如下：，又，.AB为直径，在和中，. . 三
15、、圆与三角函数综合17已知O过点D（4，3），点H与点D关于轴对称，过H作O的切线交轴于点A（如图1）。求O半径；求的值；如图2，设O与轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），联结并延长DE、DF交O于点B、C，直线BC交轴于点G，若是以EF为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化？请说明理由。图1 图217(1)点在O上， O的半径。（2）如图1，联结HD交OA于Q，则HDOA。联结OH，则OHAH。 HAO=OHQ。 。（3）如图2，设点D关于轴的对称点为H，联结HD交OP于Q，则HDOP。又DE=DF， DH平分BDC。 。 联结OH，则OHBC。 图1 图2 CGO=
16、OHQ。 四、圆与二次函数（或坐标系）综合 18、如图，M的圆心在轴上，与坐标轴交于A（0，）、B（1，0），抛物线经过A、B两点 （1） 求抛物线的函数解析式；（2） 设抛物线的顶点为P试判断点P与M 的位置关系，并说明理由；（3） 若M与轴的另一交点为D，则由线段PA、线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面积是多少？18解：（1）抛物线经过点A、B， 解得 （2）由得 顶点P的坐标为（1，）在RtAOM中,MAMO=OA,OA=,OB=1, MA(MA1)=3, MA=2.MB=2, MO=1,即点O的坐标为（1，0）MP=2. 顶点P在圆外； （）连结OD，点M在抛物线的对称轴上,
17、MP轴, . 由线段PA、线段PD及弧ABD形成的封闭图形PABD的面积=扇形OAD的面积.在RtAOM中,sinAMO=,AMO=60.封闭图形PABD的面积= 19如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在C上（1）求ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由19解： （1）作CHx轴，H为垂足 CH=1，半径CB=2， HBC=30 BCH=60 ACB=120
18、（2） CH=1，半径CB=2， ，故， （3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点的坐标为（1，3）设抛物线解析式为，把点代入解析式，解得所以 （4）假设存在点使线段与互相平分，则四边形是平行四边形所以，且 轴， 点在轴上 ， ，即 满足， 点在抛物线上 存在使线段与互相平分 20（以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为1的与轴交于两点，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点，其顶点为（1）求的值及二次函数顶点的坐标；（2）将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为，在经过点和点的直线上是否存在一点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请
19、说明理由. 20.解：（1）由题意得，(1 , 0) , (3 , 0) .则有 解得 二次函数的解析式为顶点的坐标为（2，1） （2）将平移后的抛物线解析式为，其顶点为(0,0). 直线经过点（3，0）和点（0，- 3），直线的解析式为 作点关于直线的对称点，连接、，直线，设垂足为，则有，由题意可知，, ， . 过点作的垂线，垂足为,四边形为矩形 直线的解析式为 . 的解为 直线与直线的交点为点 五、以圆为背景的探究性问题21下图中, 图(1)是一个扇形OAB，将其作如下划分：第一次划分： 如图(2)所示，以OA的一半OA1的长为半径画弧交OA于点A1，交OB于点B1，再作AOB的平分线，交
20、于点C，交于点C1， 得到扇形的总数为6个，分别为： 扇形OAB、扇形OAC、扇形OCB、扇形OA1B1、扇形OA1C1、扇形OC1B1；第二次划分： 如图(3)所示，在扇形OC1B1中， 按上述划分方式继续划分， 即以OC1的一半OA2的长为半径画弧交OC1于点A2，交OB1于点B2，再作B1OC1的平分线，交于点D1，交于点D2，可以得到扇形的总数为11个；第三次划分： 如图(4)所示，按上述划分方式继续划分；依次划分下去.(1) 根据题意, 完成右边的表格；(2) 根据右边的表格, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2008个? 为什么?(3) 若图(1)中的扇形的圆心角AO
21、B=m，且扇形的半径OA的长为R我们把图(2)第一次划分的图形中，扇形（或扇形）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为S1；把图(3)第二次划分的最小扇形面积记为S2；，把第n次划分的最小扇形面积记为Sn.求的值.21解：（1）划分次数扇形总个数16211316421n5n+1（2）不能得到2008个扇形，因为满足5n+1=2008的正整数n不存在； （3）22圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作（如图）；圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，记作（如图）请回答下列问题：（1）如图，猜测并说明理由；（2）如图，猜测并说明理由.图
22、（提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）图图22（1） 理由如下：图EFMN过O点分别作 图NMEF= （2）， 理由如下：过O点分别作 = 23已知：半径为R的经过半径为r的O圆心，与O交于M、N两点（1）如图1，连接O交O于点C，过点C作O的切线交于点A、B，求的值；（2）若点C为O上一动点.当点C运动到内时，如图2，过点C作O的切线交于A、B两点请你探索的值与（1）中的结论相比较有无变化？并说明你的理由；当点运动到外时，过点C作O的切线，若能交于A、B两点请你在图3中画出符合题意的图形，并探索的值（只写出的值，不必证明）23解：（1）如图1，延长OO交O于点D，连接AD OD是O的直径， DAO=90 AB与O相切于点C， OCAB BCO=DAO=90又 B=D， BOCDOA OAOB=OCOD=2Rr即OAOB=2Rr （2）答：OAOB=2Rr不变理由：如图2，作O的直径OD，连接AD、OC， DAO=90 AB与O相切于点C， BCO=90 BCO=DAO 又 B=D， BCODAO OAOB= OCOD =2Rr答：OAOB=2Rr不变 画图如图3