1、【课时训练】双曲线一、选择题1(2018广州联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【答案】A【解析】依题意解得双曲线C的方程为1.2(2018福州质检)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11B9 C5D3【答案】B【解析】由题意，知a3，b4，c5.由双曲线的定义|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.故选B.3(2018庐江第二中学1月月考)已知椭圆1(a1b10)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线1(a2
2、0，b20)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于()A.B1C.D2【答案】B【解析】由ba1c1，得aca1c1，e1.由ba2c2，得caa2c2，e2.e1e21.4(2018辽宁凌源联考)已知圆E：(x3)2(ym4)21(mR)，当m变化时，圆E上的点与原点O的最短距离是双曲线C：1(a0，b0)的离心率，则双曲线C的渐近线方程为()Ay2xByxCyxDyx【答案】C【解析】圆E的圆心到原点的距离d，所以当m4时，圆E上的点与原点O的距离最短，为312，即双曲线C的离心率e2.所以，则双曲线C的渐近线方程为yx.故选C.5(2018南昌联考)已知F1，F
3、2分别是双曲线1(a0，b0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得()0(其中O为坐标原点)，且|，则双曲线的离心率为()A.1 B.C. D.1【答案】D【解析】，()()()0，即220.|c.在MF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得.|，可设|(0)，|，得()224c2，解得c.|c，|c.根据双曲线定义，得2a|(1)c.双曲线的离心率e1.6(2018河南中原名校联考)已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，)
4、B(1,2)C(1,1)D(2,1)【答案】B【解析】由题意易知点F的坐标为(c,0)，A，B，E(a,0)，ABE是锐角三角形，0.即0，整理，得3e22ee4，e(e33e31)0.e(e1)2(e2)1，e(1,2)故选B.二、填空题7(2018辽宁沈阳月考)已知方程mx2(2m)y21表示双曲线，则实数m的取值范围是_【答案】(，0)(2，)【解析】mx2(2m)y21表示双曲线，m(2m)0.解得m0或m2.8(2018天津河西区质检)已知双曲线1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为_【答案】【解析
5、】由定义，知|PF1|PF2|2a.又|PF1|4|PF2|，|PF1|a，|PF2|a.在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2e2.要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，当cosF1PF21时，得e，即e的最大值为.三、解答题9(2018石家庄模拟)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3 7.(1)求这两个曲线的方程；(2)若P为这两个曲线的一个交点，求cosF1PF2的值【解】(1)由已知c，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m，n，则解得b6，
6、n2.椭圆的方程为1，双曲线的方程为1.(2)不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.10(2018河南安阳一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：yx与直线l2：yx之间的阴影部分为W.区域W中动点P(x，y)到l1，l2的距离之积为1.(1)求点P的轨迹C的方程(2)动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：OAB的面积恒为定值(1)【解】由题意得1，所以|(xy)(xy)|2.因为点P在区域W内，所
7、以xy与xy同号，所以(xy)(xy)x2y22，所以点P的轨迹C的方程为1.(2)【证明】设直线l与x轴相交于点D.当直线l的斜率不存在时，|OD|，|AB|2，SOAB|AB|OD|2.当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm，显然k0，m0，则D.把直线l的方程与C：x2y22联立得(k21)x22kmxm220.由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知4k2m24(k21)(m22)0，得m22(k21)0，所以k1或k1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y1， 同理得y2.所以SOAB|OD|y1y2|2.综上， OAB的面积恒为定值2.11(2018湖北部分重点中学第一次联
8、考)在面积为9的ABC中，tanBAC，且2，现建立以A点为坐标原点，以BAC的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示(1)求AB，AC所在直线的方程；(2)求以AB，AC所在直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；(3)过点D分别作AB，AC所在直线的垂线DF，DE(点E，F为垂足)，求的值【解】(1)设CAx，则由tanBACtan2及为锐角，得tan2，AC所在直线方程为y2x，AB所在直线方程为y2x.(2)设所求双曲线的方程为4x2y2(0)，C(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，x20)由2，得D.点D在双曲线上，422.x1x2.由tanBAC，得sinBAC.|AB|x2，|AC|x1，SABC|AB|AC|sinBAC5x1x22x1x29，代入，得16，双曲线的方程为1.(3)由题意，知，BAC，cos，cosBAC.设D(x0，y0)，则1.又点D到AB，AC所在直线距离分别为|，|，|cos，.