1、2022届高三开学摸底考试文科数学试卷（全国卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则( )A.B.C.D.2.已知，则( )A.B.C.D. 3.已知，则( )A.B.C.D.4.设，则( )A.B.C.D.5.若x，y满足约束条件则的最小值为( )A.3B.1C.D.6.函数的大致图象是( )A.B.C.D.7.已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且函数在上单调递增，则( )A.B.C.D.8.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是( )A.4B.8C. D. 9.若函数的最小正周期为，且
2、其图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则的图象( )A.关于直线对称B.关于点对称C.关于直线对称D.关于点对称10.几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PA与BC所成角的大小为( )A.30B.45C.60D.9011.已知椭圆为C的左、右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为( )A.B.C.D.312.已知函数是定义在R上的奇函数，其导函数为，且对任意实数x都有，则不等式的解集为( )A.B.C.D.二、填空题：
3、本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量，且，则实数_.14.已知双曲线C过点，且渐近线方程为，则C的离心率为_.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知三角形的面积是，且，则的面积是_.16.已知在三棱锥中，且二面角的大小为，是边长为的等边三角形，则三棱锥外接球的半径长为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）已知数列为等比数列，设其前n项和为，公比，且，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，求数列的
4、前n项和.18.（12分）某研究机构为了研究华为公司由于技术创新对订单产生的影响，调查了技术创新前、后华为及其它公司在欧洲的订单情况，结果如下：华为在欧洲的订单数其他公司在欧洲的订单数技术创新前2060技术创新后3040（1）是否有95%的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单?（2）现从技术创新前、后华为在欧洲的订单数中，采用分层抽样的方法抽取5个进行调查，若从抽得的5个订单中随机抽取2个进行调查结果的比较，求这2个订单中恰好有一个是技术创新后的订单的概率.附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819.（12分）如图，在四棱锥中，
5、底面ABCD是矩形，平面，分别是PB、CD的中点.（1）证明：平面PAD；（2）若平面AEF，求四棱锥的体积.20.（12分）已知抛物线的焦点为是抛物线上一点且三角形MOF的面积为（其中O为坐标原点），不过点M的直线l与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作交PQ于点N.（1）求抛物线C的方程；（2）求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.21.（12分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论方程的实根个数.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在平面直
6、角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点，曲线与曲线的交点为（异于点O）两点，求的值.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求a的取值范围.答案以及解析1.答案：A解析：因为，所以.2.答案：B解析：可知.3.答案：A解析：，故选A.4.答案：D解析：由，可得，故选D.5.答案：C解析：作出可行域，为如图所示的阴影部分，作出直线并平移，数形结合可知当平移后的直线经过点B时，z取得最小值.由解得所以.故.故选C.6.答案：
7、C解析：因为，所以，所以是偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项A；，故排除选项B；，故排除选项D，故选C.7.答案：A解析：因为函数的图象关于点对称，故函数的图象关于原点对称，所以是R上的奇函数.由可得，所以的周期为2.因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，又，所以，选A.8.答案：C解析：根据四面体的三视图还原得到该四面体的直观图，如图所示.由三视图知，为等腰直角三角形，因此，所以，所以为直角三角形.故，所以该四面体四个面的面积中，最大的是故选C.9.答案：D解析：依题意可得，所以，所以的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为，又函数为偶函数，所以，解得，又，所以，所以，由，得，所
8、以图象的对称轴为，排除A，C.由，得，则图象的对称中心为，当时，故选D.10.答案：C解析：如图，设底面的圆心为O，分别取AC，PC的中点D，E，连接PO，CO，OD，OE，DE，因为是等腰直角三角形，设圆锥的底面圆半径，则，则且，又且，而且，所以为异面直线PA与BC所成的角，在中，因为E为PC的中点，所以，所以是正三角形，即异面直线PA与BC所成的角为.11.答案：C解析：由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，即，解得或（舍），.又，解得，故选C.12.答案：B解析：设，则.因为，所以，即，故在R上单调递增.因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，不等式，即，
9、则.13.答案：解析：由题意得，因为，所以，解得.14.答案：解析：由双曲线C过点，可知此点与原点的连线的斜率大于渐近线的斜率2，所以双曲线C的焦点在y轴上，故设其方程为，则渐近线方程为，则.设，则，所以离心率.15.答案：解析：因为，所以，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以.16.答案：解析：设的外心为，线段AB的中点为，则，且，易知三角形PAB的外心为，连接，且，所以设外接球球心为O，连接，可知，则，半径.17.答案：（1）因为，所以.，两式相除得，解得，故数列的通项公式.(2)由（1）得，则，故，则，所以数列的前n项和为.18.答案：(1)由题意知，所以有的把握认为华为公司技
10、术创新影响了华为在欧洲的订单.(2)由题意知，从技术创新前、后的订单数中应分别抽取的订单数为2个和3个.将来自技术创新前的订单分别记作，来自技术创新后的订单分别记作.则从这5个订单中抽取2个订单的所有结果有，共10种情况，其中恰有一个是来自技术后的订单的情况有，共6种情况，故所求概率.19.答案：（1）证明：如图，取AP的中点为M，连接MD，ME.因为E，M，F分别是的中点，四边形ABCD是矩形，所以，且，所以，所以四边形DMEF为平行四边形，所以，（2）因为平面平面ABCD，所以，又，所以，因为平面平面AEF，所以，又E是PB的中点，所以.所以直角梯形ABCF的面积.易知点E到平面ABCF的
11、距离，所以.20.答案：(1)由题意得，故，解得，故拋物线C的方程为.(2)易得，由题意可设直线PQ的方程为，由，消去x，得，故.因为，所以，即.整理得，即，即，所以，所以或.当，即时，直线PQ的方程为，此时直线过点，不合题意舍去；当，即时，直线PQ的方程为，此时直线PQ恒过定点.设，则由，即，得，即，即轨迹是以MH为直径的圆（除去点）.21.答案：（1）因为，所以的定义域为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）方程的实根个数即方程的实根个数.设，则，设，易知在上单调递增，因为，.所以存在唯一的，使得，当时，即，当时，即，故在上单调递减，在上单调递增.由，得，对两边同时取对数可得，所以，又，所以在及上各有1个零点，所以在及上各有1个零点，所以方程有2个实根.22.答案：（1）由（为参数）可得，所以曲线的普通方程为由，得，所以曲线的直角坐标方程为.（2）易知曲线的参数方程为（t为参数），代入曲线的普通方程中，得.设点A，B对应的参数分别为，所以，所以.23.答案：（1）由，得或或解得或-或，因此不等式的解集为.（2）恒成立，只需即可，由(1)可知在上为减函数，在上为增函数，故，所以，即，所以，即a的取值范围为.