1、幂函数与二次函数考试要求1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数yx，yx2，yx3，yx，y的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数yxyx2yx3yxyx1图象性质定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(，0上单调递减；在(0，) 上单调递增在R上单调递增在0，)上单调递增在(，0)和(0，)上单调递减公共点(
2、1,1)2二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域RR值域单调性在x上单调递减；在x上单调递增在x上单调递增；在x上单调递减对称性函数的图象关于直线x对称提醒：二次函数yax2bxc(a0)的系数特征(1)二次项系数a的正负决定图象的开口方向(2)的值决定图象对称轴的位置(3)c的取值决定图象与y轴的交点(4)b24ac的正负决定图象与x轴的交点个数1幂函数yx在(0，)上的三
3、个重要结论(1)当0时，函数在(0，)上单调递增(2)当0时，函数在(0，)上单调递减(3)当x(0,1)时，越大，函数值越小，当x(1，)时，越大，函数值越大2根与系数的关系二次函数f(x)ax2bxc(a0)，当b24ac0时，其图象与x轴有两个交点M1(x1,0)，M2(x2,0)，这里的x1，x2是方程f(x)0的两个根，且|M1M2|x1x2|.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y2x是幂函数()(2)当n0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()(3)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数()(4)二次函数yax2bxc(xa，b)的最值一定是.()答案
4、(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1已知幂函数yf(x)经过点(3，)，则f(x)()A是偶函数，且在(0，)上是增函数B是偶函数，且在(0，)上是减函数C是奇函数，且在(0，)上是减函数D是非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数D设幂函数的解析式为yx，将点(3，)的坐标代入解析式得3，解得，yx，故选D.2若幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是()A BC DC令f(x)x，则42，解得，f(x)x，则f(x)的图象如选项C中所示3已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是()Aa3Ba3Ca3Da3D函数f(x)x24ax的图象是
5、开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧，所以2a6，解得a3，故选D.4函数g(x)x22x(x0,3)的值域是_1,3g(x)x22x(x1)21，x0,3，当x1时，g(x)ming(1)1，又g(0)0，g(3)963，g(x)max3，即g(x)的值域为1,3 考点一幂函数的图象及其性质 与幂函数有关问题的解题思路(1)若幂函数yx(Z)是偶函数，则必为偶数当是分数时，一般将其先化为根式，再判断(2)若幂函数yx在(0，)上单调递增，则0；若在(0，)上单调递减，则0.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适
6、当的函数，借助其单调性进行比较1(多选)已知1,1,2,3，则使函数yx的值域为R，且为奇函数的所有的值为()A1B1C3D2AC当1时，yx1，为奇函数，但值域为x|x0，不满足条件当1时，yx为奇函数，值域为R，满足条件当2时，yx2为偶函数，值域为x|x0，不满足条件当3时，yx3为奇函数，值域为R，满足条件故选AC.2当x(0，)时，幂函数y(m2m1)x5m3为减函数，则实数m的值为()A2B1C1或2DmB因为函数y(m2m1)x5m3既是幂函数又是(0，)上的减函数，所以解得m1.3若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()AabcBcabCbcaDbacD因为yx在第一象限内是
7、增函数，所以ab，因为yx是减函数，所以ac，所以bac.4若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解得1a.点评：比较大小时，若底数相同，可考虑指数函数的单调性若指数相同，可考虑幂函数的单调性，有时需要通过化简，使底数(指数)相同如本例T3，也可化简为a，b，c，再通过yx的单调性比较大小 考点二求二次函数的解析式 求二次函数解析式的策略典例1已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解法一：(利用二次函数的一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得故所求二次函数为f(x)
8、4x24x7.法二：(利用二次函数的顶点式)设f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线对称轴为x.m，又根据题意函数有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三：(利用零点式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)4x24x7.点评：求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同1已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(2，1)，且图象经
9、过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)_.x2x法一：(一般式)设所求函数的解析式为f(x)ax2bxc(a0)由已知得解得所以所求解析式为f(x)x2x.法二：(顶点式)设所求函数的解析式为f(x)a(xh)2k.由已知得f(x)a(x2)21，将点(1,0)代入，得a，所以f(x)(x2)21，即f(x)x2x.2已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则函数的解析式f(x)_.x24x3f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)图象的对称轴为x2.又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.
10、设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象经过点(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3. 考点三二次函数的图象与性质 二次函数图象的识别识别二次函数图象应学会“三看”典例21(1)一次函数yaxb与二次函数yax2bxc在同一坐标系中的图象大致是()ABCD(2)如图所示的是二次函数yax2bxc图象的一部分，且过点A(3,0)，对称轴为直线x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()AB CD(1)C(2)B(1)若a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的
11、图象开口向上，故排除A；若a0，一次函数yaxb为减函数，二次函数yax2bxc的图象开口向下，故排除D；对于选项B，看直线可知a0，b0，从而0，而图中二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，故排除B.故选C.(2)因为图象与x轴交于两点，所以b24ac0，即b24ac，正确因为对称轴为直线x1，所以1，即2ab0，错误结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误由对称轴为直线x1知，b2a.又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确点评：对于判断两个函数的图象在同一坐标系中的题目，可假设一个图象正确，然后判断另一个图象是否正确如本例T(1)二次函数的单调性二次函数单调性问题的求解策
12、略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较典例22(1)函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3,0)B(，3C2,0D3,0(2)二次函数f(x)ax2bxc(xR)的最小值为f(1)，则f()，f ，f()的大小关系是()Af()f f()Bf f()f(3)Cf()f()f Df()f()f (1)D(2)D(1)当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足题意当a0时，f(x)图
13、象的对称轴为x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0(2)二次函数f(x)ax2bxc(xR)的最小值为f(1)，函数的图象开口方向朝上，对称轴为直线x1.|1|1|，f()f()f，故选D.母题变迁将本例(1)改为“若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)”，则实数a_.3由题意知解得a3.二次函数的最值问题二次函数最值问题的类型及解题思路(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨
14、论的思想解决问题典例23求函数f(x)x22ax1在区间1,2上的最值解f(x)(xa)21a2.当a1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，f(x)minf(1)22a，f(x)maxf(2)4a5.当1a，即a1时，函数f(x)在区间1,2上先减后增，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)4a5.当a2，即2a时，函数f(x)在区间1,2上先减后增，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(1)22a.当a2，即a2时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，f(x)minf(2)4a5，f(x)maxf(1)22a.综上知，f(x)minf(x)max点评：对称
15、轴分区间讨论，书写结论时要注意合并区间与二次函数有关的恒成立问题1由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.2ax2bxc0(a0)在区间m，n上恒成立的条件设f(x)ax2bxc，则典例24(1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_(2)已知函数f(x)x22x1，f(x)xk在区间3，1上恒成立，则k的取值范围为_(
16、1)(2)(，1)(1)作出二次函数f(x)的草图如图所示，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0.(2)由题意得x2x1k在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，则g(x)在3，1上递减g(x)ming(1)1.k1.故k的取值范围为(，1)1已知abc0，则二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()ABCDDA项，因为a0，0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故A错B项，因为a0，0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故B错C项，因为a0，0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故C错D项，因为a0，0，所以b0
17、.因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故D正确2设函数f(x)mx2mx1，若对于x1,3，f(x)m4恒成立，则实数m的取值范围为()A(，0BC(，0)DD由f(x)m4得m(x2x1)5，又x2x120，m，当1x3时，1x2x17，5，m.故选D.3设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是_0,2依题意a0，二次函数f(x)ax22axc图象的对称轴是直线x1，因为函数f(x)在区间0,1上单调递减，所以a0，即函数图象的开口向上，所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.4已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，求实数a的值解f(x)a(x1)21a.当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去；当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.
