1、2020-2021学年安徽省合肥一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）1已知2+i，则复数z（）A1+3iB13iC13iD1+3i2下列说法正确的是（）A用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台B空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D球面上四个不同的点一定不在同一个平面内3已知平面向量，满足|2，|1，（+4），则向量，的夹角为（）ABCD4梯形A1B1C1D1（如图）是一水平放置的平面图形ABCD的直观图（斜二测），若A1D1y轴，A1B1x轴，A1B1C1D14，A1D12，则平面
2、图形ABCD的面积是（）A20B10CD5在ABC中，a20，b10，B32，则此三角形的解的情况是（）A有两解B有一解C有无数个解D无解6设是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A且BCD7在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）ABCD8已知ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，其中bc2且满足，则ABC面积为（）ABCD9如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，AA14，ABAC，M为BB1的中点，点N在棱CC1上，CN3NC1，则异面直线A1N与CM所成角的余弦值为（）
3、ABCD10一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是（）ABCD11骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，ABE，BEC，ECD均是边长为2的等边三角形设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）A12B10C9D812ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a：bln2：ln4，且，则k的范围是（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知i为虚数单位，若
4、z1+2i，则|zi| 14给出下列说法：若直线l平行于平面内的无数条直线，则l；若直线a在平面外，则a；若空间中三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c一定垂直；垂直于同一直线的两条直线平行其中正确说法的是 15已知非零向量与满足且，若，则ABC的面积为 16把四个半径分别为9，9，9，19的小球同时放入一个大球中，使四个小球两两外切并均与大球内切，则大球的半径为 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知向量，（）若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；（）若，求x，y的值18已知圆锥SO的底面半径R6，高H8（1）求圆锥SO的表
5、面积和体积；（2）圆锥SO的内接圆柱OO的高为h，当h为何值时，圆锥SO的内接圆柱OO的侧面积最大，并求出最大值19在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积记为SABC，满足a2+b2c2（1）求C；（2）若c，求2a4sinB的取值范围20如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC是边长为2的等边三角形，BB14，E为棱A1C1的中点，F为棱A1B1的中点，BC1B1CO（）若M为线段BC上一动点，证明：A1M平面EFO；（）求三棱锥A1OEF的体积21为了美校园环境，某中学欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD其中AB6百米，AD2
6、百米，且BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设BAD，（，）（1）当cos时，求小路AC的长度；（2）试求小路BD的长度使得草坪ABCD的面积最大22在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型PABCD点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割：（1）试在棱PC上确定一点G，使得EF平面ABG；（2）过点A，E，F的平面交PD于点H，沿平面将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出的值参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每
7、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知2+i，则复数z（）A1+3iB13iC13iD1+3i解：2+i，z（1+i）（2+i）21+（2+1）i1+3i，则复数z1+3i故选：D2下列说法正确的是（）A用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台B空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D球面上四个不同的点一定不在同一个平面内解：对于A：当用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故A错误；对于B：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故B错误；对于C：通过圆台
8、侧面上一点，有且只有一条母线，故C正确；对于D：球面上四个不同的点不一定不在同一个平面内，故D错误故选：C3已知平面向量，满足|2，|1，（+4），则向量，的夹角为（）ABCD解：，且，且，故选：C4梯形A1B1C1D1（如图）是一水平放置的平面图形ABCD的直观图（斜二测），若A1D1y轴，A1B1x轴，A1B1C1D14，A1D12，则平面图形ABCD的面积是（）A20B10CD解：梯形A1B1C1D1中，A1B1C1D14，所以C1D16，A1D12，所以梯形面积为S（4+6）2sin455，所以原平面图形ABCD的面积是5220故选：A5在ABC中，a20，b10，B32，则此三角形的
9、解的情况是（）A有两解B有一解C有无数个解D无解解：在ABC中，a20，b10，B32，根据正弦定理，sinA2sin32，sinA1，ABC不存在，即此三角形无解故选：D6设是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A且BCD解：A若|且，则，两个向量为相等向量或相反向量，当时，不成立，所以A不是充分条件B当时，不成立，所以B不是充分条件C当时，且，两个向量方向相反时，不成立，所以C不是充分条件D当4时，满足，同向共线，满足，所以D是充分条件故选：D7在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）ABCD解
10、：取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MNBC1，MC1BN，梯形的高为，梯形的面积为（），故选：C8已知ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，其中bc2且满足，则ABC面积为（）ABCD解：因为所以2ccosAbcosA+acosB，由正弦定理得2sinCcosAsinBcosA+sinAcosBsin（A+B）sinC，由C为三角形内角得sinC0，所以cosA，由A为三角形内角得A，则ABC的面积SbcsinA故选：B9如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，AA14，ABAC，M为BB1的中点，点N在棱CC1
11、上，CN3NC1，则异面直线A1N与CM所成角的余弦值为（）ABCD解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，0，4），N（0，1，3），C（0，1，0），M（1，0，2），（0，1，1），（1，1，2），设异面直线A1N与CM所成角为，则cos异面直线A1N与CM所成角的余弦值为故选：B10一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是（）ABCD解：棱长为4的正四面体放入一个棱长为的正方体中，则外接球的直径为，故外接球的半径为，棱长为4的正四面体的高h，所以过正四面体上某一
12、个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则顶点到截面的距离为，则球心到截面的距离为，所以截面圆的半径，则截面圆的面积是故选：A11骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，ABE，BEC，ECD均是边长为2的等边三角形设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）A12B10C9D8解：据题意：圆D（后轮）的半径均为，ABE，BEC，ECD均是边长为2的等边三角形点P为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则A（4，0），B（3，），C（1，）圆D的方程为x2+y2，可设P（co
13、s，sin）所以（3，），（cos+3，sin）故sin+cos+63（sin+cos）+63sin（+）+63+69故选：C12ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a：bln2：ln4，且，则k的范围是（）ABCD解：因为a：bln2：ln4ln2：2ln21：2，所以b2a，因为三角形三边长分别为，a，2a，c，所以a+2ac，且a+c2a，即3ac，且ca，于是，所以，因为bacosC2a2cosCkc2，所以k，故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知i为虚数单位，若z1+2i，则|zi|解：i为虚数单位，z1+2i，|zi|1+i|，故答案为：
14、14给出下列说法：若直线l平行于平面内的无数条直线，则l；若直线a在平面外，则a；若空间中三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c一定垂直；垂直于同一直线的两条直线平行其中正确说法的是解：对于，若直线l平行于平面内的任意一条直线，则l，故错误；对于，若直线a在平面外，当直线a与平面相交时，则a错误，故错误；对于，若空间中三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c一定垂直，故正确；对于，只有在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故错误故答案为：15已知非零向量与满足且，若，则ABC的面积为解：因为，所以BAC的平分线与BC边垂直，所以ABAC，取AC中点D，连接AD，ADBC，因
15、为cosBAC，所以BAC120，于是BC30，ADADtan302，所以故答案为：16把四个半径分别为9，9，9，19的小球同时放入一个大球中，使四个小球两两外切并均与大球内切，则大球的半径为解：如图，设三个半径为9的球的球心分别为A、B、C，半径为19的球的球心为D，连接AB、BC、AC、AD、BD、CD，则D在平面ABC上的射影为底面正三角形ABC的外心G，可得BG，三棱锥DABC为正三棱锥，侧棱DB28，则DG再设大球的球心为O，由对称性可得，O在线段DG上，要使大球与四个小球都内切，则OD+19OB+9，设OBx，则OG，ODDGOG26，则，解得x大球的半径为x+9故答案为：三、解
16、答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知向量，（）若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；（）若，求x，y的值解：（） 若点A、B、C不能构成三角形，则A、B、C三点共线由，得（3，1），（2x，1y）A、B、C三点共线，得3（1y）2x，即x、y满足的条件为x3y+10；（）（1x，y）且，（2x，1y）2（1x，y）可得2x22x，1y2y，解之得x4，y118已知圆锥SO的底面半径R6，高H8（1）求圆锥SO的表面积和体积；（2）圆锥SO的内接圆柱OO的高为h，当h为何值时，圆锥SO的内接圆柱OO的侧面积最大，并求出最大值解：（1）圆锥S
17、O的底面半径R6，高H8，圆锥SO的母线长L10，则侧面积SRL60，体积V96；（2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中SO8，OAOB6，OKh（0h8）设圆柱底面半径为r，则，即r（8h）设圆柱的侧面积为S2rh2（8h）h（h2+8h）当h4时，S有最大值为2419在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积记为SABC，满足a2+b2c2（1）求C；（2）若c，求2a4sinB的取值范围解：（1）因为a2+b2c2，所以2abcosC，所以tanC，由C为三角形内角得C；（2）由正弦定理得2，所以a2sinA，所以2a4sinB4sinA4sinB4sinA4si
18、n（）4sinA2cosA2sinA2sinA2cosA4sin（A），由0A得A，所以sin（A），24sin（A）故2a4sinB的取值范围（2）20如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC是边长为2的等边三角形，BB14，E为棱A1C1的中点，F为棱A1B1的中点，BC1B1CO（）若M为线段BC上一动点，证明：A1M平面EFO；（）求三棱锥A1OEF的体积【解答】（）证明：O为B1C的中点，F为A1B1的中点，OFA1C，OF平面A1CB，A1C平面A1CB，OF平面A1CB，E为A1C1的中点，F为A1B1的中点，EFB1C1，而BCB1C1，EFBC，EF平面A1CB，BC平
19、面A1CB，EF平面A1CB，又OFEFF，平面OEF平面A1CB，M为线段BC上一动点，A1M平面A1CB，则A1M平面EFO；（）解：取B1C1的中点为D，连接OD，则ODBB1，由直三棱柱可得BB1平面A1B1C1，则OD平面A1B1C1，且ODBB12，由A1B1C1是边长为2的等边三角形，可得，而E为A1C1的中点，F为A1B1的中点，OD21为了美校园环境，某中学欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD其中AB6百米，AD2百米，且BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设BAD，（，）（1）当cos时，求小
20、路AC的长度；（2）试求小路BD的长度使得草坪ABCD的面积最大解：（1）ABD中，由余弦定理得BD2AB2+AD22ABADcos36+20280，所以BD4，由题意得sin，由正弦定理得，即，所以sinADB，因为BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，CDBD4，所以cosADCsinADB，ADC中，由余弦定理得AC2AD2+DC22ADCDcosADC+（4）22（）2；（2）由（1）得BD25624cos，因为ABCD的面积SSABD+SBCD6sin+6sin12cos+2828+30sin（），其中sin，cos，（0，），当，即+时，S取得最大值，此时BD25624cos10
21、4，所以BD222在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型PABCD点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割：（1）试在棱PC上确定一点G，使得EF平面ABG；（2）过点A，E，F的平面交PD于点H，沿平面将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出的值解：（1）当PG3GC时，EF平面ABG理由：设PBPC3t，因为，可得PE2t，EBt，PFFCt，因为PG3GC，可得PGt，可得，所以EFBG，而EF平面ABG，BG平面ABG，则EF平面ABG；（2）延长FE，与延长CB交于M，连接MA，并延长与CD的延长线交于N，连接FN，交PD于H，由（1）可得FGGC，即G为CF的中点，由EFBC，可得B为MC的中点，由ADBC，可得D为CN的中点，在等腰三角形PCD中，F为PC的中点，取CD的中点K，连接FK，则PD2KF，DHFK，所以PD3DH，即
