1、2015-2016学年安徽省合肥市中科大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1下列说法正确的是（）A类比推理是由特殊到一般的推理B演绎推理是特殊到一般的推理C归纳推理是个别到一般的推理D合情推理可以作为证明的步骤2若平面、的法向量分别为n1=（1，2，2），n2=（3，6，6），则（）ABC，相交但不垂直D以上都不正确3已知ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A2B3C4D54命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循
2、环小数”是假命题，推理错误的原因是（）A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了“三段论”，但大前提错误D使用了“三段论”，但小前提错误5已知函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0（a，b），则=（）Af（x0）B2f（x0）C2f（x0）D06可导函数y=f（x）在一点的导数值为0是函数y=f（x）在这点取极值的（）A充分条件B必要条件C必要非充分条件D充要条件7若O、A、B、C为空间四点，且向量，不能构成空间的一个基底，则（）A，共线B，共线C，共线DO，A，B，C四点共面8函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a
3、，b）内有极小值（）A2个B1个C3个D4个9设f（x）=，则f（x）dx等于（）ABCD不存在10已知f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是（）A0B1C2D311函数f（x）的定义域为R，f（1）=3，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+1的解集为（）A（1，+）B（1，1）C（，1）D（，+）12已知函数f（x）=ex，g（x）=ln的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A2B2+ln2Ce2D2eln二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13在ABC中，已知=（2，4，0），=（1，3，0），则ABC=_
4、14曲线y=x34x在点（1，3）处的切线倾斜角为_15若f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0）在R上是增函数，则a，b，c的关系式为是_16若函数f（x）=x（xc）2在x=2处有极小值，则常数c的值为_三、解答题：本大题共6小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17四棱柱ABCDABCD中，AB=5，AD=3，AA=7，BAD=60，BAA=DAA=45，求AC的长18求下列函数的导数：（1）f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）；（2）y=exsin2x19如图，直线y=kx分抛物线y=xx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值20如图，正四棱柱ABCDA1
5、B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC（1）证明：A1C平面BED；（2）求二面角A1DEB的余弦值21已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=与x=1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围22已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2（）求a，b，c，d的值；（）若x2时，f（x）kg（x），求k的取值范围2015-2016学年安徽省合肥市中科大附中高二（下）期中数学试卷（理
6、科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1下列说法正确的是（）A类比推理是由特殊到一般的推理B演绎推理是特殊到一般的推理C归纳推理是个别到一般的推理D合情推理可以作为证明的步骤【考点】演绎推理的意义；进行简单的合情推理【分析】根据归纳推理、类比推理、演绎推理、合情推理的定义，即可得到结论【解答】解：因为归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤，故选C2若平面、的法向量分别为n1=（1，2，2），n2=（3，6，6），则
7、（）ABC，相交但不垂直D以上都不正确【考点】平面的法向量【分析】根据法向量平行可知两平面平行【解答】解：=3，故选：A3已知ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A2B3C4D5【考点】直线的两点式方程【分析】由已知中ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案【解答】解：B（4，3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为ABC中BC边上的中线|AD|=3故选B4命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有
8、理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（）A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了“三段论”，但大前提错误D使用了“三段论”，但小前提错误【考点】演绎推理的基本方法【分析】有理数包含有限小数，无限不循环小数，以及整数，故有些有理数是无限循环小数，这个说法是错误的，即大前提是错误的【解答】解：大前提是特指命题，而小前提是全称命题有理数包含有限小数，无限不循环小数，以及整数，大前提是错误的，得到的结论是错误的，在以上三段论推理中，大前提错误故选：C5已知函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0（a，b），则=（）Af（x0）B2f（x0）C2f（x0）D0【考点】极限及其运
9、算【分析】把要求极限的代数式变形，然后利用导数的概念得答案【解答】解：由=2f（x0）故选：B6可导函数y=f（x）在一点的导数值为0是函数y=f（x）在这点取极值的（）A充分条件B必要条件C必要非充分条件D充要条件【考点】函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由极值的定义知，函数在某点处有极值，则此处导数必为零，若导数为0时，此点左右两边的导数符号可能相同，故不一定是极值，由此可以得出结论，极值点处导数比较0，导数为0处函数值不一定是极值【解答】解：对于可导函数f（x）=x3，f（x）=3x2，f（0）=0，不能推出f（x）在x=0取极值，故导数为0时不一定取到
10、极值，而对于任意的函数，当可导函数在某点处取到极值时，此点处的导数一定为0故应选 C7若O、A、B、C为空间四点，且向量，不能构成空间的一个基底，则（）A，共线B，共线C，共线DO，A，B，C四点共面【考点】空间向量的基本定理及其意义【分析】向量，不能构成空间的一个基底，可得：向量，共面，即可得出【解答】解：向量，不能构成空间的一个基底，向量，共面，因此O，A，B，C四点共面，故选：D8函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A2个B1个C3个D4个【考点】利用导数研究函数的极值【分析】如图所示，由导函数
11、f（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值【解答】解：如图所示，由导函数f（x）在（a，b）内的图象可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值，在点B的左侧f（x）0，右侧f（x）0，且f（xB）=0函数f（x）在点B处取得极小值故选：B9设f（x）=，则f（x）dx等于（）ABCD不存在【考点】定积分【分析】原积分化为f（x）dx=x2dx+（2x）dx，根据定积分的计算法则计算即可【解答】解： f（x）dx=x2dx+（2x）dx=x3|+（2xx2）|=+（2222）（2）=+422+=故选：C10已知f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的
12、最大值是（）A0B1C2D3【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，得到在1，+）上，f（x）0恒成立，从而解得a3，故a的最大值为3【解答】解：f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数f（x）=3x2a0在1，+）上恒成立即a3x2x1，+）时，3x23恒成立a3a的最大值是3故选D11函数f（x）的定义域为R，f（1）=3，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+1的解集为（）A（1，+）B（1，1）C（，1）D（，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】构造g（x）=f（x）2x1，则原不等式就化为g（x）0=g（1），再利用导数研究g
13、（x）的单调性，即可得出答案【解答】解：令g（x）=f（x）2x1，则g（1）=f（1）21，因为f（1）=3，所以g（1）=321=0由f（x）2x+1，即f（x）2x10，即g（x）g（1）；因为f（x）2，所以g（x）=f（x）20所以，g（x）是R上的减函数；则由g（x）g（1）x1；所以，不等式f（x）2x+1的解集为x|x1故选A12已知函数f（x）=ex，g（x）=ln的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A2B2+ln2Ce2D2eln【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】由题意，A（lnm，m），B（2，m），其中2lnm，且m0，表示|AB
14、|，构造函数，确定函数的单调性，即可求出|AB|的最小值【解答】解：由题意，A（lnm，m），B（2，m），其中2lnm，且m0，|AB|=2lnm，令y=lnx（x0），则y=，x=，0x时，y0；x时，y0，y=lnx（x0）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，x=时，|AB|min=2+ln2故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13在ABC中，已知=（2，4，0），=（1，3，0），则ABC=【考点】空间向量的夹角与距离求解公式【分析】根据平面向量的数量积，求出向量与所成的角，从而得出ABC的大小【解答】解：ABC中， =（2，4，0）
15、，=（1，3，0），=2（1）+43+00=10，|=2，|=；cos，=，向量与所成的角为，ABC=故答案为：14曲线y=x34x在点（1，3）处的切线倾斜角为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求出曲线方程的导函数，把x=1代入导函数中求出的函数值即为切线方程的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的正切值等于切线方程的斜率，然后利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数【解答】解：由y=x34x，得到y=3x24，所以切线的斜率k=yx=1=34=1，设直线的倾斜角为，则tan=1，又（0，），所以=故答案为：15若f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0）在R上是增函数
16、，则a，b，c的关系式为是a0且b23ac【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据函数在R上是增函数，得到导函数恒大于0，而导函数是一个二次函数，得到开口向上且与x轴没有交点即根的判别式小于0，即可得到a、b和c的关系式【解答】解：由f（x）=3ax2+2bx+c0恒成立，得到4b212ac0，化简得b23ac故答案为：a0且b23ac16若函数f（x）=x（xc）2在x=2处有极小值，则常数c的值为2【考点】利用导数研究函数的极值【分析】根据函数在x=2处有极小值，得到f（2）=0，解出关于c的方程，再验证是否为极小值即可【解答】解：函数f（x）=x（xc）2，f（x）=3x24cx+c
17、2，又f（x）=x（xc）2在x=2处有极值，f（2）=128c+c2=0，解得c=2或6，又由函数在x=2处有极小值，故c=2，c=6时，函数f（x）=x（xc）2在x=2处有极大值，故答案为：2三、解答题：本大题共6小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17四棱柱ABCDABCD中，AB=5，AD=3，AA=7，BAD=60，BAA=DAA=45，求AC的长【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；棱柱的结构特征【分析】由=+=+，利用平方法，可求出|，即AC的长【解答】解：=+=+（）2=（+）2=2+2+2+2（+）=25+9+49+2（53cos60+57cos45+3
18、7cos45）=98+56|=即AC的长为18求下列函数的导数：（1）f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）；（2）y=exsin2x【考点】导数的运算【分析】根据函数的导数公式进行求导即可【解答】解：（1）y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11（2）y=（ex）sin 2x+ex（cos 2x）2=ex（2cos 2xsin 2x）19如图，直线y=kx分抛物线y=xx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值【考点】定积分在求面积中的应用【分析】确定交点的坐标，由题设得01k（xx2）kxdx=01（xx2）dx，利用定积分的计算公式即可求
19、得k值【解答】解：由kx=xx2，可得x=0或x=1k（0k1）由题设得01k（xx2）kxdx=01（xx2）dx即01k（xx2）kxdx=（x2x3 ）|01=（1k）3=k=1故k的值为：120如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC（1）证明：A1C平面BED；（2）求二面角A1DEB的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，由向量法能证明A1C平面BED（2）由，得到平面A1DE的法向量，同理得平面BDE的法向量为，由向量法能求出二面角A
20、1DEB的余弦值【解答】解：（1）如图，以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1），A1C平面BED（2），设平面A1DE的法向量为，由及，得2x+2y3z=0，2x4z=0，取同理得平面BDE的法向量为，cos=，所以二面角A1DEB的余弦值为21已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=与x=1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性【
21、分析】（1）求出f（x），因为函数在x=与x=1时都取得极值，所以得到f（）=0且f（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x1，2恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）c2列出不等式，求出c的范围即可【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f（x）=3x2+2ax+b由解得，f（x）=3x2x2=（3x+2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）和
22、（1，+），递减区间是（，1）（2），当x=时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值要使f（x）c2对x1，2恒成立，须且只需c2f（2）=2+c解得c1或c222已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2（）求a，b，c，d的值；（）若x2时，f（x）kg（x），求k的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题【分析】（）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），
23、从而解出a，b，c，d的值；（）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）kg（x）恒成立，从而求出k的范围【解答】解：（）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f（0）=4，g（0）=4，而f（x）=2x+a，g（x）=ex（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）设F（x）=kg（x）f（x）=2kex（x+1）x24x2，则F（x）=2kex（x+2）2x4=2（x+2）（kex1），由题设得
24、F（0）0，即k1，令F（x）=0，得x1=lnk，x2=2，若1ke2，则2x10，从而当x（2，x1）时，F（x）0，当x（x1，+）时，F（x）0，即F（x）在（2，x1）上减，在（x1，+）上是增，故F（x）在2，+）上的最小值为F（x1），而F（x1）=x1（x1+2）0，x2时F（x）0，即f（x）kg（x）恒成立若k=e2，则F（x）=2e2（x+2）（exe2），从而当x（2，+）时，F（x）0，即F（x）在（2，+）上是增，而F（2）=0，故当x2时，F（x）0，即f（x）kg（x）恒成立若ke2时，F（x）2e2（x+2）（exe2），而F（2）=2ke2+20，所以当x2时，f（x）kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是1，e22016年9月27日
