1、荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试数 学（文）【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数的图像与性质、解三角形、数列、平面向量、立体几何、圆锥曲线、导数、充分、必要条件、集合、命题、简单的线性规划等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【
2、题文】1集合，则A B C D 【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】B 解析：因为，所以4，5，6,则选B .【思路点拨】先明确集合A中的元素及集合B中的元素范围，再求交集.【题文】2下列命题中，真命题是 A，使得 B C D是的充分不必要条件【知识点】命题A2【答案】【解析】D 解析：因为,所以A是假命题，当x=时，所以B错误，当x=2时，所以C错误，则只有D正确，所以选D.【思路点拨】判断命题的真假若直接推导不方便时，可利用特例法进行排除判断.【题文】3若，是两条不重合的空间直线，是平面，则下列命题中正确的是 A若，则 B若，则 C若，则 D若，则【知识点】平行关系 垂直关系G4 G5
3、【答案】【解析】C 解析：A选项，直线m还可能在平面内，所以错误；B选项，直线m还可能在平面内，所以错误；C选项由线面垂直的性质可知正确，所以应选C.【思路点拨】判断垂直关系与平行关系时，能直接利用定理判断的可用定理判断，不能直接利用定理判断的可用反例法排除.【题文】4要得到函数的图象，只需将函数的图象 A向右平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向右平移个单位长度 D向左平移个单位长度【知识点】三角函数的图象C4【答案】【解析】B 解析：因为，可知用换x即可得到函数y=sin2x的图象，所以向左平移个长度单位，则选B.【思路点拨】由函数解析式判断两个函数的图象的左右平移，只需观察x的变换，
4、结合左加右减进行判断.【题文】5对于函数若，则函数在区间内 A一定有零点 B一定没有零点 C可能有两个零点 D至多有一个零点【知识点】函数与方程B9【答案】【解析】C 解析：由二次函数的图象可知，若a,b在二次函数的两个零点外侧，则有，所以函数在区间内可能有两个零点，所以选C.【思路点拨】判断二次函数的零点，可结合其图象进行判断.【题文】6曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A B C D【知识点】导数的应用B12【答案】【解析】A 解析：因为，所以切线斜率为，则切线方程为，切线与两坐标轴的交点坐标分别为，所以围成的三角形面积为，则选A.【思路点拨】可先利用导数求出切线方程，再结合切线
5、与坐标轴的交点求三角形面积.【题文】7点是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是 A B C D 第7题图【知识点】简单的线性规划E5【答案】【解析】B 解析：由题意，最优解应在线段AC上取到，故x+ay=0应与直线AC平行，,，得a=-1，则表示点P（-1，0）与可行域内的点Q（x，y）连线的斜率，由图得，当Q（x，y）=C（4，2）时，取得最大值，最大值是，故选B【思路点拨】由题设条件，目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界A
6、C上取到，即x+ay=0应与直线AC平行，进而计算可得a值，最后结合目标函数的几何意义求出答案即可【题文】8在平面直角坐标平面上，且与在直线l的方向向量上的投影的长度相等，则直线l的斜率为 A B C或 D【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】C 解析：设直线l的一个方向向量为，由题意可得,|1+4k|=|-3+k|，解得k=或,故选C【思路点拨】可先结合直线的斜率设出直线的方向向量坐标，再利用向量的投影得到斜率的方程，解答即可.【题文】9对于一个有限数列，的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为，其中，若一个99项的数列（的蔡查罗和为1000，那么100项数列的蔡查罗和为 A991B992
7、C993D999【知识点】数列求和D4【答案】【解析】D 解析：由“蔡查罗和”定义，的“蔡查罗和”为，则100项的数列 “蔡查罗和”为,故选D【思路点拨】理解新定义的含义，结合新定义列出已知和所求，即可得到解答.【题文】10设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 A B C D【知识点】双曲线的性质H6【答案】【解析】A 解析：双曲线的渐近线为：y=x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，），P（c，），（c，）=（+）c，（），+=1，= ，解得= ，=，又由，得= ，解得e=，所以选A.【思路点拨】
8、可结合向量关系寻求点的坐标关系，得到a,b,c的关系再求离心率即可.【题文】二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)【题文】11若，若，则 【知识点】分段函数B1【答案】【解析】1 解析：因为当x1时，f(x) 3，所以若，则，解得x=1.【思路点拨】可先分析分段函数当x1时的函数值的取值范围，再由所给函数值求自变量的值.【题文】12在ABC中，若，则角 【知识点】解三角形C8【答案】【解析】 解析：因为sinA:sinB:sinC=a:b:c=7:8:13,设a=7k,b=8k,c=13k，则，又C为三角形内角
9、，所以C=.【思路点拨】利用正弦定理把角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理求角即可.【题文】13已知克糖水中含有克糖（），若再添加克糖（），则糖水就变得更甜了试根据这一事实归纳推理得一个不等式 【知识点】不等式的性质E1【答案】【解析】 解析：b g糖水中有a g糖，糖水的浓度为；b g糖水中有a g糖（ba0），若再添m g糖（m0），则糖水的浓度为；又糖水变甜了，说明浓度变大了，.【思路点拨】b g糖水中有a g糖（ba0），若再添m g糖（m0），浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即可.【题文】14由直线上的点向圆引切线， 则切线长的最小值为 【知识点】直线与圆的位置
10、关系H4【答案】【解析】 解析：若切线长最小，则直线上的点到圆心的距离最小，而直线上的点到圆心的距离最小值即为圆心到直线的距离为，此时的切线长为.【思路点拨】一般遇到与圆有关的最值问题，通常转化为与圆心的关系进行解答.【题文】15某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为 第15题图【知识点】三视图G2【答案】【解析】 解析：由三视图可知该几何体为半个圆锥，其底面面积为，侧面面积为，所以其表面积为.【思路点拨】由三视图求表面积与体积时，可先通过三视图分析原几何体的特征，再进行求值.【题文】16若函数在其定义域内的一个子区间 内存在极值，则实数的取值范围 【知识点】导数的应
11、用B12【答案】【解析】 解析：因为,由x0可知函数的极值点只有x=,若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则，解得，所以实数a的范围是.【思路点拨】因为所给函数已知，则可先求出函数的极值点，再结合函数的定义域及极值点得到关于a满足的条件求解即可.【题文】17已知函数若，使成立，则实数的取值范围为 ；若，使得，则实数的取值范围为 【知识点】函数的值域 基本不等式B3 E6【答案】【解析】3,+ ); 解析：因为，当且仅当x=2时等号成立，所以若，使成立，则实数的取值范围为3,+ ); 因为当x2时,f(x) 3，g(x) ,若，使得，则，解得a【思路点拨】可转化为函数的值域问题进行解答；可
12、转化为两个函数的值域关系进行解答.【题文】三、解答题(本大题共5小题，共65分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)【题文】18（本小题满分12分） 已知向量，设函数（）求在区间上的零点；（）若角是中的最小内角，求的取值范围【知识点】向量的数量积 解三角形C8 F3【答案】【解析】（）、；（）(1,0 解析：因为向量，函数所以 2分4分（1）由，得， 或6分， 或，又，或所以在区间上的零点是、8分（2）由已知得从而 10分， 12分【思路点拨】一般研究三角函数的性质时，通常先化简成一个角的三角函数再进行解答.【题文】19（本小题满分12分） 已知等比数列满足：，且是的等差中项（）求数列的通项
13、公式；（）若数列an是单调递增的，令，求使 成立的正整数的最小值【知识点】等差数列 等比数列 数列求和D2 D3 D4【答案】【解析】（）或；()5 解析：（）设等比数列的首项为，公比为依题意，有，代入，可得，2分，解之得 或 4分当时， ； 当时， 数列的通项公式为或6分()等比数列an是单调递增的， 8分 由，得10分即，即易知：当时，当时，故使成立的正整数的最小值为5.12分【思路点拨】遇到与和有关的不等式可考虑先求和再解答，对于数列求和可先明确数列的通项公式，在结合通项公式特征确定求和思路.【题文】20（本小题满分13分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，且交于点
14、（）求证:平面；（）求证：直线平面；（）求直线与平面所成角的余弦值第20题图【知识点】平行关系 垂直关系 直线与平面所成角G4 G5 G11【答案】【解析】（）略；（）略；（） 解析：方法一：（）证明：连结交于，连结 是正方形， 是的中点 是的中点，是的中位线 2分又平面，平面， 平面 4分 （）证明：由条件有 平面，6分又 是的中点， 平面 由已知，平面8分 （）由()知面，则直线在面内的射影为， 为所求的直线与面所成的角 10分 又，在中 又 由可得12分直线与平面所成角的余弦值为13分【思路点拨】证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求直线与平面所成角时可找出其对应的平面角再
15、进行解答.【题文】21（本小题满分14分) 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是（单位:万元）现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位:万元）随投资收益（单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过投资收益的20%（）若建立函数模型制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；（）现有两个奖励函数模型：；试分析这两个函数模型是否符合公司要求【知识点】函数模型及其应用B10【答案】【解析】（）当时，是增函数；当时，恒成立；当时，恒成立（）函数模型符合公司要求 解析：（）设奖励函数模型为，则该函数模型满足的条件是：当时，是增函数；当时
16、，恒成立；当时，恒成立5分（）（1）对于函数模型，它在上是增函数，满足条件；但当时，因此，当时，不满足条件；故该函数模型不符合公司要求7分 （2）对于函数模型，它在上是增函数满足条件时，即恒成立满足条件9分 设，则，又 ，所以在上是递减的，因此，即恒成立满足条件故该函数模型符合公司要求综上所述，函数模型符合公司要求12分【思路点拨】本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，可先将文字语言转化为数学符号语言，再用数学方法定量计算得出所要求的结果.【题文】22（本小题满分14分） 如图，已知圆E:，点，P是圆E上任意一点线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（）求动点Q的轨迹的方程；
17、（）设直线与()中轨迹相交于两点，直线的斜率分别为的面积为，以为直径的圆的面积分别为若恰好构成等比数列，求的取值范围第22题图【知识点】圆 椭圆 直线与圆锥曲线位置关系 等比数列H3 H5 H8 D3【答案】【解析】（）；（） 解析：（）连结QF，根据题意，|QP|QF|，则|QE|QF|QE|QP|4，故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆2分设其方程为，可知，则，3分所以点Q的轨迹的方程为为4分()设直线的方程为，由可得，由韦达定理有：且 6分构成等比数列，=，即：由韦达定理代入化简得： ， 8分此时，即又由三点不共线得从而故10分又则 为定值12分当且仅当时等号成立综上： 14分【思路点拨】求圆锥曲线的轨迹方程若出现定义条件，注意利用定义判断轨迹并求方程，遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，一般设出方程，联立方程结合韦达定理建立系数的对应关系，再进行解答.
