1、湖南师大附中2018届高三月考试卷(六)数学(文科) 命题人、审题人：彭萍苏萍曾克平本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)复数z1i，为z的共轭复数，则zz3(C)(A)2i (B)i (C)i (D)2i(2)若a，b为实数，则“0ab1”是“|ab|1”的(A)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件(3)设alog3，b，c2，则(A)(A)abc (B)cba(C)cab (D)
2、bac【解析】由函数的性质得到alog31 000的最小n值是(C)(A)5 (B)6 (C)7 (D)8【解析】因为a11，log3an1log3an1 (nN*)，所以an13an，Sn，则满足Sn1000的最小n值是7.(7)某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则ab的最大值为(C)(A)2 (B)2 (C)4 (D)2【解析】设长方体长、宽、高分别为m、n、x.由已知，m2n2x27，m2x26得n1，又x21a2，m21b2，所以：(ab)2a2b22abx2m22n22ab82ab8
3、2，由此解得：ab4，当且仅当ab时取“”故ab的最大值为4.(8)已知函数f(x)Acos x(A0，0)的最小正周期为2，且f1，则函数yf(x)的图象向右平移个单位后所得图象的函数解析式为(A)(A)y2sin x (B)ysin x(C)y2cos x (D)ycos x【解析】由最小正周期为2，得2，则，又f1，所以Acos1，A2，所以f(x)2cos x，将函数yf(x)的图象向右平移个单位后得到y2cos2cos2sin x的图象(9)过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若AOB的面积为 ，则直线AB的斜率为(C)(A)2 (B)2 (C)2 (D)
4、【解析】设直线AB的倾斜角为，由SABC得sin ，所以tan 2.(10)若函数f(x)x3x2在区间(a，a4)上存在最大值，则实数a的取值范围是(C)(A)(6，2) (B)(6，3)(C)(6，3 (D)(6，2【解析】函数f(x)x3x2在(，2)，(0，)上是增函数，在(2，0)上是减函数令f(x)f(2)，得x2或x1.结合图像可知：解得a(6，3(11)已知函数f(x)，则函数g(x)ff(x)1的零点个数是(D)(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个【解析】设f(M)0，得M2或M1.当M1时，由f(x)11得log2(x)2或x22，即得x0或x；当M2时，由f(x
5、)12得f(x)1，即log2(x)1或x21，即x2或x3.(12)在平面直角坐标系xOy中，A、B为不等式组所表示的区域上任意两个动点， M的坐标为(3，1)，则的最大值为(B)(A)2 (B)3 (C)4 (D)5【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，()(3x2y2)(3x1y1)，由于A、B为不等式组所表示的区域上任意两个动点，故要求的最大值即求目标函数z3xy的最大值与最小值的差，作出不等式所表示的平面区域如图，可知目标函数最大值和最小值分别为6和3，的最大值为3.选择题答题卡题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)答案CAADCC
6、CACCDB第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本题共4小题，每小题5分(13)已知集合A3，a2，B0，b，1a，且AB1，则AB_0，1，2，3_【解析】A3，a2，集合B0，b，1a，且AB1，a21，解得：a1或a1，当a1时，1a110，不合题意，舍去；当a1时，1a1(1)2，此时b1，A3，1，集合B0，1，2，则AB0，1，2，3故答案为：0，1，2，3(14)已知正实数x，y满足xy2xy4，则xy的最小值为_23_【解析】正实数x，y满足xy2xy4，y(0x2)xyx
7、x(x1)32323，当且仅当x1时取等号xy的最小值为23.故答案为：23.(15)折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为_【解析】设正方形ABCD的边长为2，则由题意，多边形AEFGHID的面积为552212，阴影部分的面积为2224，向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为，故答案为.(16)函数yf(x)图象上不同两点A(x1，y1)，B(
8、x2，y2)处的切线的斜率分别是kA、kB，规定(A，B)叫做曲线yf(x)在点A、B之间的“平方弯曲度”设曲线yexx上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x21，则(A，B)的取值范围是_【解析】yexx的导数为yex1，kAex11，kBex21，(A，B)，x1x21，可得x1x2，ex1ex2，可令tex1ex2，可设f(t)，t0，f(t)，当0t时，f(t)0，f(t)递增；当t时，f(t)0，f(t)递减则当t处f(t)取得极大值，且为最大值.则(A，B).故答案为：.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)已知数列an中，a
9、12，且2anan11(n2，nN)()求证：数列an1是等比数列，并求出数列an的通项公式；()设bnn(an1)，数列bn的前n项和为Sn，求证：1Sn4.【解析】()an11(an11), 2分又a1110，数列an1是首项为1，公比为的等比数列. 4分an1，得an1.5分()bnn(an1)n，设Sn1则Sn8分得：Sn12，Sn44，10分Sn40，数列Sn是递增数列，故SnS11，1Sn4. 12分(18)(本小题满分12分)如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC60，E、F分别是BC、PC的中点()证明：AE平面PAD；()取AB2，在线段P
10、D上是否存在点H，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为，若存在，请求出H点的位置，若不存在，请说明理由【解析】()证明：由四边形ABCD为菱形，ABC60，可得ABC为正三角形，E为BC的中点，AEBC.又BCAD，因此AEAD.PA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAE.而PA平面PAD，AD平面PAD，PAADA，AE平面PAD; 4分()设线段PD上存在一点H，连接AH，EH.由()知AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角. 6分在RtEAH中，AE，当AH最短时，即当AHPD时，EHA最大，此时tanEHA，因此AH. 10分线段PD上存在点H，当DH时，使得EH与平
11、面PAD所成最大角的正切值为. 12分(19)(本小题满分12分)如图，在ABC中，M是边BC的中点，cosBAM，tanAMC.()求角B的大小；()若角BAC，BC边上的中线AM的长为，求ABC的面积【解析】()由cosBAM，得：sinBAM，tanBAM. 2分又AMCBAMB，tan Btan(AMCBAM)；5分又B(0，)，B.6分()由()知B.角BAC，C.则ABBC.8分设MBx，则AB2x.在ABM中由余弦定理，得AM2AB2MB22ABBMcos B，10分即7x221.解得：x.故得ABC的面积SABC4x2sin3. 12分(20)(本小题满分12分)已知椭圆C：1
12、(ab0)的离心率为，连接椭圆四个顶点的四边形面积为2.()求椭圆C的方程；()A、B是椭圆的左右顶点，P是椭圆上任意一点，椭圆在P点处的切线与过A、B且与x轴垂直的直线分别交于C、D两点，直线AD、BC交于Q，是否存在实数，使xPxQ恒成立，并说明理由【解析】()由题意e，2ab2解得a，b，故椭圆C的方程为15分()设切线方程为ykxm，与椭圆联立消元得x26kmx3m260直线与椭圆相切，36k2m240化简得m223k2，7分且xP，8分又点A(，0)，D(，km)，直线AD方程为y9分同理直线BC方程为y10分解得xQ11分存在1，使xPxQ恒成立.12分(21)(本小题满分12分)
13、已知函数f.()求函数f的极值点；()设g，若函数g在内有两个极值点x1、x2，求证：gg.【解析】()f，1分若0a0，可得0x2，即函数f在，上为增函数；由f0，可得ax2，由f0得x2，xa；由f0可得xa，所以函数f在，上为增函数；由f0，可得2x2.9分gg.11分a2，gg0)，l：cos，C与l有且仅有一个公共点()求a；()O为极点，A，B为C上的两点，且AOB，求的最大值【解析】()由cos x，sin y，2x2y2可将曲线C、直线l的极坐标方程化为直角坐标方程分别为y2a2，l的方程为：xy30，由已知得aa1.5分()因为曲线C为圆，由圆的对称性，设AOx，则2cos 2cos，3cos sin 2sin2，所以当时，的最大值为2.10分(23)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)， ()解不等式f(x)9；()若不等式f(x)2xa的解集为A，B，且满足BA，求实数a的取值范围【解析】()f(x)9可化为9，或，或；2分2x4，或1x2，或2x1; 4分不等式的解集为2，4；5分()易知B(0，3)；6分所以BA，又2xa在x(0，3)恒成立；7分xa1在x(0，3)恒成立；8分xa12x4xa1在x(0，3)恒成立；9分a510分