1、江苏省灌云一中2020届高三数学3月线上考试试题数学试卷（总分160分）一填空题（共14小题）1已知集合Ax|x1，B1，0，1，4，则AB 2设复数za+bi（a，bR，i是虚数单位），且z22i，则a+b 3若一组样本数据21，19，x，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为 4椭圆（b0）与双曲线有公共的焦点，则b 5执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 6把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是 7已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上则球的体积与圆柱的体积的比值为 8已
2、知数列an的前n项和为Sn，且满足，S2020 9在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则sin（A） 10如图，在平面四边形ABCD中，CBACAD90，ACD30，ABBC，点E在线段BC上，且3，若+（，R），则的值为 11过直线l：yx2上任意一点P作圆C： x2+y21的一条切线，切点为A，若存在定点B（x0，y0），使得PAPB恒成立，则x0y0 12设a0，b0，a2b1，则的最小值为 13函数f（x）sinx（0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，An，在点列An中存在三个不同的点Ak、Al、Ap，使得AkAlAp是等腰直角三角形，
3、将满足上述条件的值从小到大组成的数记为n，则6 14已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）+f（1x）0且当0x1时，f（x）log3（ax）若对于任意x1，0，都有5，则实数t的取值范围为 二解答题（共10小题）15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ac2bcosC（1）求B； （2）若，ABC的面积为，求ABC的周长16如图，在三棱锥ABCD中，点M、N分别在棱AC、CD上，N为CD的中点（1）若M为AC的中点，求证：AD平面BMN；（2）若平面ABD平面BCD，ABBC，求证：BCAD17如图所示，一座小岛A距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东
4、12km处有一城镇B一年青人从小岛A出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C处，再沿海岸线步行到城镇B若PAC，假设该年青人驾驶小船的平均速度为2km/h，步行速度为4km/h（）试将该年青人从小岛A到城镇B的时间t表示成角的函数；（）该年青人欲使从小岛A到城镇B的时间t最小，请你告诉他角的值18已知椭圆C：+1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2+过点F2（）求椭圆C的方程；（）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x4的交点为B，过点（3，）且与l1垂直的直线l2与直线x4交于点D，求ABD面积的最小值19已知函数的极大值为，其中
5、e2.71828为自然对数的底数（1）求实数k的值；（2）若函数，对任意x（0，+），g（x）af（x）恒成立（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：x2f（x）asinx+x2120对于数列an，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称an为P数列（1）若an的前n项和Sn3n+2，试判断an是否是P数列，并说明理由；（2）设数列a1，a2，a3，a10是首项为1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值范围；（3）设无穷数列an是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列bn，cn是从an中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T1，T2，求an是P数列时
6、a与q所满足的条件，并证明命题“若a0且T1T2，则an不是P数列”参考答案与试题解析一填空题（共14小题）11，4【分析】进行交集的运算即可【解答】解：Ax|x1，B1，0，1，4，AB1，4故答案为：1，4【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题22【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算可得a2b2+2abi2i，然后利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求【解答】解：za+bi（a，bR），且z22i，（a+bi）2a2b2+2abi2i，得，解得或a+b2故答案为：2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题32
7、【分析】由平均数的定义求出x的值，再计算方差的大小【解答】解：数据21，19，x，20，18的平均数为（21+19+x+20+18）20，解得x22；所以该组样本数据的方差为s2（2122）2+（1920）2+（2220）2+（2020）2+（1820）22故答案为：2【点评】本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题44【分析】求得双曲线的焦点坐标，可得25b29，解方程可得b的值【解答】解：双曲线的焦点为（3，0），由题意可得25b29，得b216，则b4故答案为：4【点评】本题考查椭圆和双曲线的焦点坐标，考查方程思想和运算能力，属于基础题515【分析】根据给出的算法语句的作用求解即可【解
8、答】解：依题意，第一次运行循环时，I1，满足I9，S21+13，I3；第二次运行循环时，I3，满足I9，S23+17，I5；第三次运行循环时，I5，满足I9，S25+111，I7；第四次运行循环时，I7，满足I9，S27+115，I9；循环结束，输出S15，故答案为：15【点评】本题考查了算法语句的理解和应用，考查分析和解决问题的能力，属于基础题6【分析】基本事件总数n24，能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”包含的基本事件个数m2，由此能求出能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率【解答】解：把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，基本事件总
9、数n24，能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”包含的基本事件个数m2，则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7【分析】画图分析可得，该球的直径与圆柱的底面直径和高构成直角三角形，进而求得圆柱的底面半径，进而求得球的体积与圆柱的体积的比值【解答】解：如图，外接球的体积，圆柱的底面直径，故底面半径，故圆柱体积V2326故球的体积与圆柱的体积的比值为故答案为：【点评】本题主要考查了圆柱与外接球的关系，需要根据球的直径和圆柱的底面直径和高构成直角三角形进行求解属于基础题8【分
10、析】直接利用关系式的应用求出结果【解答】解：当n1时有得，当n2时，又，得，整理得；于是n2得，n4得，n6得，；故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，求和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型9【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理可求A，然后代入即可求解【解答】解：，由正弦定理可得，整理可得，b2+c2a2bc，由余弦定理可得，cosA，0A，A，则sin（A）sin故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题10【分析】建立平面直角坐标系后，设ABBCt后，用向量的坐标运算可得【解答】解如图建
11、立直角坐标系：设ABBCt，则A（t，0），C（0，t），点E在线段BC上，且3，所以E（0，），因为在RtADC中，AC，ACD30，所以AD，由题知RtABC，是等腰三角形所以DAF45，所以DFAF，D（1+）t，），（t，t），（，），（t，），若+（，R），则（t，t）（，）+（t，），解得，所以故答案为：【点评】本题考查了平面向量的基本运算，属中档题112【分析】设P（a，a2），B必在以P为圆心，PA为半径的圆上，B（x0，y0）为这些圆的公共点，PB2PA2恒成立，即任意aR，（x0a）2+y0（a1）2a2+（a2）21恒成立，所以，即可解得x0，y0，进而得到答案【解答】解
12、：设P（a，a2），由题意知B必在以P为圆心，PA为半径的圆上，B（x0，y0）为这些圆的公共点，因为PB2PA2，所以（x0a）2+y0（a2）2a2+（a2）21即（x02+y02+4y0+1）2a（x0+y0）0，因为任意aR，（x02+y02+4y0+1）2a（x0+y0）0恒成立，所以解得或，所以x0y02，故答案为：2【点评】本题考查直线与圆的位置关系，恒成立问题，属于难题124+2【分析】结合已知条件进行化简后，直接利用基本不等式即可求解【解答】解：a0，b0，a2b1，则，ab，ab+，ab+，当且仅当ab时取等号，此时取得最小值4+2故答案为：4+2【点评】本题考查了基本不等
13、式在求最值中的应用，属于基础题13【分析】令xk+，可求对称轴方程，进而可求A1，A2，A3，An的坐标，由AkAtAp是等腰直角三角形可知直线的斜率之积为1可求n，进而可求6的值【解答】解：由xk+，得x，kZ，由题意得x，即A1（，1），A2（，1），A3（，1），A4（ ，1），由A1A2A3是等腰直角三角形，得kA1A2kA2A31，即 1，得1，同理A1A4A7是等腰直角三角形得kA1A4kA1A41，得2同理A1A6A11是等腰直角三角形得kA1A6kA6A111，得2从而有n则6，故答案是：【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性及直线垂直关系的应用，还考查了归纳推理的应用，属于知
14、识的简单综合14【分析】先求得f（1）的值，由此求得a的值，证得f（x）时周期为4的函数，将1log35转化为f（），根据函数周期性和对称性，将原式转化为+4kx2tx，结合x的取值范围即可求得t的取值范围【解答】解：因为f（1+x）+f（1x）0令x0，则2f（1）0，即f（1）0，由于0x1时，f（x）log3（ax）所以（1）log3（a1）0，解得a2，即有当0x1时，f（x）log3（2x）因为1log35f（）f（1）f（1+）f（），又因为f（x）为偶函数，所以f（）f（），再根据f（1+x）+f（1x）0f（x）f（x），则f（x+4）f1+（x+3）f1（x+3）f（x+2）
15、f（x+2）f1+（1+x）f1（1+x）f（x）f（x），所以函数f（x）是周期为4的周期函数，当x1，0时，x0，1，所以f（x）f（x）log3（2+x），所以当x1，1时，f（x）log3（2|x|）因为f（1+x）+f（1x）0，所以f（2x）+f（x）0，故f（x）f（2x），所以当x1，3时，2x1，1，所以f（x）log3（2|2x|）作出函数f（x）的图象如图：由5，得+4kx2tx+4k（kZ），对于任意x1，0成立当x0时，+4k+4k，解得k，所以k0，即x2tx对于任意x1，0成立，当x1，0）时，由x2tx得t（x+）的最大值，由于yx+在1，0）单调递减，所以t1
16、，由x2tx得t（x）的最小值，由于yx在1，0）单调递增，所以t11，综上，t的取值范围是，1，故答案为：，1【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用二解答题（共10小题）15 【分析】（1）由已知利用余弦定理可得a2+c2b2ac，可求cosB的值，结合范围B（0，），可得B的值（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac2，进而利用余弦定理可求a+c的值，即可求解ABC的周长【解答】解：（1）2ac2bcosC2b，整理可得a2+c2b2ac，cosB，由B（0，），可得B（2）B，ABC的面积为acsinBac，ac2，由
17、余弦定理b2a2+c22accosB，可得3a2+c2ac（a+c）23ac（a+c）26，解得a+c3，ABC的周长a+b+c3+【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16【分析】（1）推导出MNAD，由此能证明AD平面BMN（2）作AOBD，垂足为O，推导出AO平面BCD，从而AOBC，再由ABBC，得BC平面ABD，由此能证明BCAD【解答】证明：（1）在ACD中，点M、N分别在棱AC、CD的中点，MNAD，AD平面BMN，MN平面BMN，AD平面BMN（2）如图，在平面ADB中，作AOBD，垂足为O，平面ABD平面BCD
18、，平面ABD平面BCDBD，AO平面ABD，AO平面BCD，BC平面BCD，AOBC，又ABBC，ABAOA，BC平面ABD，AD平面ABD，BCAD【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17【分析】（）根据直角三角形的边角关系求出AC和BC的值，再求t关于的函数解析式；（）根据t的解析式，结合三角函数的性质求出t的最小值以及对应的值【解答】解：（）由题意知，APPB，AP2，所以PC2tan，BC122tan，所以t关于的函数为；（）由（）知，令，则；解得，当且仅当时，等号成立；即时，所化时间t最小【点评】本题考
19、查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的问题，是中档题18 【分析】（）根据题意求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（）设直线l1的方程，代入涂鸦方程，利用韦达定理求得A的横坐标，求得直线l2方程，求得D点坐标，利用三角形的面积公式及基本不等式即可求得ABD面积的最小值【解答】解：（）在圆E的方程中，令y0，得到：x24，所以F1（2，0），F2（2，0），又因为，所以P点坐标为，所以，则，b2，因此椭圆的方程为；（）设直线l1：yk（x2）（k0），所以点B的坐标为，设A（xA，yA），D（xD，yD），将直线l1代入椭圆方程得：（1+2k2）x2
20、+（4k8k2）x+8k28k40，所以xPxA，所以xA，直线l2的方程为y（x3），所以点D坐标为，所以SABD（4xA）|yByD|2k+22+2，当且仅当2k，即k时取等号，综上，ABD面积的最小值2+2【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题19 【分析】（1）对f（x）求导，判断函数的极大值为f（e），求出k；（2）（i）根据题意，任意x（0，+），g（x）af（x），即，设H（t）etata，H（t）eta，只需H（t）0，tR，对a分类讨论求出即可；（ii）要证x2f（x）asinx+x21，只需证明，化简得xl
21、nx+1asinx，只需证，集合（i）证明即可【解答】解：（1）f（x），x0，当x（0，e）时，f（x）0，f（x）递增；当x（e，+）时，f（x）0，f（x）递减；所以f（x）的极大值为f（e），故k1；（2）（i）根据题意，任意x（0，+），g（x）af（x），即，化简得xexalnxaxa0，令h（x）xexalnxaxa，x0，h（x）elnxexalnxaxaelnx+xa（lnx+x）a，令lnx+xt，tR，设H（t）etata，H（t）eta，只需H（t）0，tR，当a0时，当t0时，H（t）1ata，所以H（）1a（1）a0，不成立；当a0时，H（t）0显然成立；当a0时，
22、由H（t）eta，当t（，lna），H（t）递减，t（lna，+），H（t）递增，H（t）的最小值为H（lna）aalnaaalna，由H（lna）alna0，得0a1，综上0a1；（ii）证明：要证x2f（x）asinx+x21，只需证明，化简得xlnx+1asinx，只需证，设F（x）lnx+，G（x）xsinx，由F（x），当x（0，1）时，F（x）递减；x（1，+）时，F（x）递增；所以F（x）F（1）1，由G（x）1cosx0，G（x）在（0，+）递增，故G（x）G（0）0，得xsinx，又由（i）0a1，所以，所以F（x）成立，故原命题成立【点评】本题考查已知导数的极值求参数，考查
23、利用导数判断单调性，证明不等式恒成立，考查计算能力，属于中档题20 【分析】（1）求出数列an的通项，根据P数列的定义判断即可；（2）由P数列的定义建立不等式，求解即可；（3）通过反证法即可得出结论【解答】解：（1），当n1时，a1S15，故，那么当kN时，符合题意，故数列an是P数列；（2）由题意知，该数列的前n项和为，由数列a1，a2，a3，a10是P数列，可知a2S1a1，故公差d0，对满足n1，2，3，9的任意n都成立，则，解得，故d的取值范围为；（3）若an是P数列，则aS1a2aq，若a0，则q1，又由an+1Sn对一切正整数n都成立，可知，即对一切正整数n都成立，由，故2q0，可
24、得q2，；若a0，则q1，又由an+1Sn对一切正整数n都成立，可知，即（2q）qn1对一切正整数n都成立，又当q（，1时，（2q）qn1当n2时不成立，故有或，解得，当an是P数列时，a与q满足的条件为或；假设an是P数列，则由可知，q2，a0，且an中每一项均为正数，若bn中的每一项都在cn中，则由这两数列是不同数列，可知T1T2；若cn中的每一项都在bn中，同理可得T1T2；若bn中至少有一项不在cn中且cn中至少有一项不在bn中，设bn，cn是将bn，cn中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为T1，T2，不妨设bn，cn中最大的项在bn中，设为am（m2），则T2a1+a2+am1amT1，故T2T1，故总有T1T2与T1T2矛盾，故假设错误，原命题正确【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查P数列的判断，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，是难题