1、课时作业基础对点练(时间：30分钟)1若抛物线y24x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则OFP的面积为()(A)(B)1(C) (D)2B解析：设P(xp，yp)，由题可得抛物线焦点为F(1，0)，准线方程为x1，又点P到焦点F的距离为2，由定义知点P到准线的距离为2，xP12，xP1，代入抛物线方程得|yP|2，OFP的面积为S|OF|yP|121.故选B.2若抛物线yax2的焦点坐标是(0，1)，则a()(A)1 (B)(C)2 (D)B解析：因为抛物线方程为x2y，所以其焦点坐标为，则有1，a，故选B.3已知P为抛物线y26x上一个动点，Q为圆x2(y6)2上一个动点，那么点
2、P到点Q的距离与点P到y轴距离之和的最小值是()(A) (B)(C) (D)B解析：结合抛物线的定义知，P到y轴的距离为P到焦点的距离减去，则所求最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径及，即，故选B.4(改编题)若点A，B在抛物线y22px(p0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4，则该抛物线方程是()(A)y2x (B)y2x(C)y22x (D)y2xA解析：根据对称性，ABx轴，由于正三角形的面积是4，故AB24，故AB4，正三角形的高为2，故可以设点A的坐标为(2，2)，代入抛物线方程得44p，解得p，故所求的抛物线方程为y2x.故选A.5(改编题)已知直线l1：4x3y7
3、0和直线l2：x2，抛物线y28x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值是()(A) (B)2(C)3 (D)3C解析：如图所示，过点P作PH1l1，PH2l2，连接PF，H1F，过F作FMl1，交l1于M，由抛物线方程为y28x，得l2为其准线，焦点为F(2，0)，由抛物线的定义可知|PH1|PH2|PH1|PF|FH1|FM|3，故选C.6已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A，B两点，如果12，那么抛物线C的方程为()(A)x28y (B)x24y(C)y28x (D)y24xC解析：由题意，设抛物线方程为y22px(p0)，直线方程为xm
4、y，联立消去x得y22pmyp20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y2p2，得x1x2y1y2(my1)(my2)y1y2m2y1y2(y1y2)y1y2p212p4，即抛物线C的方程为y28x.7过抛物线yx2的焦点F作一条倾斜角为30的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|_解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线x24y的焦点坐标是F(0，1)，直线AB的方程为yx1，即x(y1)由消去x得3(y1)24y，即3y210y30，y1y2，|AB|AF|BF|(y11)(y21)y1y22.答案：8(2018岳阳一模)抛物线y22px(
5、p0)的焦点为F，AB为抛物线上的两点，以AB为直径的圆过点F，过AB的中点M作抛物线的准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为_解析：由抛物线定义得，即的最大值为.答案： 9过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|5，则|BF|_解析：由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x115x14，y4x116，根据对称性，不妨取y14，所以直线AB：yx，代入抛物线方程可得，4x217x40，所以x2，所以|BF|x21.答案：10(2018湖南十四校)在平面直角坐标系中，动点M(x，y)(x0)到点F(1，0)的距离与到y轴的距离之差为1.(1)求点M的轨迹C
6、的方程；(2)若Q(4，2)，过点N(4，0)作任意一条直线交曲线C于A，B两点，试证明kQAkQB是一个定值解析：(1)M到定点F(1，0)的距离与到定直线x1的距离相等，M的轨迹C是一个开口向右的抛物线，且p2，M的轨迹方程为y24x.(2)设过N(4，0)的直线的方程为xmy4，联立方程组整理得y24my160，设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1y24m，y1y216，又kQAkQB，因此kQAkQB是一个定值为.能力提升练(时间：15分钟)11(2018烟台二模)已知直线l1：x2，l2：3x5y300，点P为抛物线y28x上的任一点，则P到直线l1，
7、l2的距离之和的最小值为()(A)2 (B)2(C) (D)C解析：抛物线y28x的焦点为F(2，0)，准线为l1：x2.P到l1的距离等于|PF|，P到直线l1，l2的距离之和的最小值为F(2，0)到直线l2的距离d.故选C.12已知点A(0，2)，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若，则p的值等于()(A) (B)(C)2 (D)4C解析：设M(xM，yM)，N，由，知，所以yN(1)yM；由kFAkFN知，所以yN4，所以yM；又，所以xM，所以xM，将(xM，yM)代入y22px，得2p，解得p2.故选C.13(2018新乡三模)
8、已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，O为坐标原点，点M，N，射线MO，NO分别交抛物线C于异于点O的点A，B，若A，B，F三点共线，则p的值为_解析：直线OM的方程为yx，将其代入x22py，解方程可得，故A.直线ON的方程为yx，将其代入x22py，解方程可得，故B.又F，所以kAB，kBF，因为A，B，F三点共线，所以kABkBF，即，解得p2.答案：214顶点在原点，经过圆C：x2y22x2y0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为_C解析：将圆C的一般方程化为标准方程为(x1)2(y)23，圆心为(1，)由题意，知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点(1，)设抛物线的标准方
9、程为y22px，因为点(1，)在抛物线上，所以()22p，解得p1，所以所求抛物线的方程为y22x.答案：y22x15已知AB是抛物线x24y的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是3，则弦AB所在的直线方程是_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为xm(y1)，由抛物线的定义及题设可得，y1y26，直线与抛物线方程联立消去x可得m2y2(2m24)ym20，则y1y2即6，可得m1或m1.故直线方程为xy10或xy10.答案：xy10或xy1016已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点
10、Q，求抛物线C的焦点坐标若抛物线C上有一点R(xR，2)到焦点F的距离为3，求此时m的值是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解析：因为抛物线C：x2y，所以它的焦点F(0，)因为|RF|yR，所以23，得m.存在，联立方程消去y得mx22x20，依题意，有(2)24m(2)0恒成立，解得m.设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)因为P是线段AB的中点，所以P，即P，所以Q.得，若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则0，即0，结合(*)化简得40，即2m23m20，所以m2或m.而2(，)，(，)所以存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形
