1、A级基础巩固一、选择题1已知平面及外一条直线l，给出下列命题：若l垂直于内两条直线，则l；若l垂直于内所有直线，则l；若l垂直于内任意一条直线，则l；若l垂直于内两条平行直线，则l.其中，正确命题的个数是()A0B1C2 D3解析：根据直线与平面垂直的定义可知，正确，不正确答案：C2.如图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是()A60 B45C30 D120解析：ABO是斜线AB与平面所成的角，在RtAOB中，AB2BO，所以cos ABO，即ABO60.答案：A3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A平面DD1C1CB平面A1DB
2、1C平面A1B1C1D1D平面A1DB解析：因为AD1A1D，AD1A1B1，且A1DA1B1A1，所以AD1平面A1DB1.答案：B4.如图所示，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A平行B垂直相交C垂直但不相交D相交但不垂直解析：因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.又MC平面ABCD，则BDMC.因为ACMCC，所以BD平面AMC.又MA平面AMC，所以MABD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交答案：C5.如图所示，PA平面ABC，ABC中BCAC，则图中直角三角形的个数是()A1 B2C3 D4解析： BC平面PACBC
3、PC，所以直角三角形有PAB，PAC，ABC，PBC.答案：D二、填空题6空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则直线l和三角形的第三边AB的位置关系是_解析：因为lAC，lBC，且ACBCC，所以l平面ABC.又AB平面ABC，故lAB.答案：垂直7已知正三棱锥SABC的所有棱长都相等，则SA与平面ABC所成角的余弦值为_解析：因为SABC为正三棱锥，所以设点S在底面ABC上的射影为ABC的中心O，连接SO，AO，如图所示，则SAO为SA与底面ABC所成的角，设三棱锥的棱长为a，在RtSOA中，AOasin 60a，SAa，所以cosSAO.答案：8如图所示，平面CD，EA，垂足为A
4、，EB，垂足为B，则CD与AB的位置关系是_解析：因为EA，CD，根据直线和平面垂直的定义，则有CDEA.同样，因为EB，CD，则有EBCD.又EAEBE，所以CD平面AEB.又因为AB平面AEB，所以CDAB.答案：垂直三、解答题9如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O平面PAC.证明：连接AB1，CB1，D1B1，OP，PB1，BD，设AB1.所以AB1CB1D1B1.因为O为正方形ABCD的中心，所以AOCO，所以B1OAC.因为OBOB2BB，PBPDB1D，OP2PD2DO2，所以OBOP2PB，所以B1OPO.又因为POA
5、CO，所以B1O平面PAC.10如图所示，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，F为CE上的点，且BF平面ACE.求证：AEBE.证明：因为AD平面ABE，ADBC，所以BC平面ABE.又AE平面ABE，所以AEBC.因为BF平面ACE，AE平面ACE，所以AEBF.又因为BF平面BCE，BC平面BCE，BFBCB，所以AE平面BCE.又BE平面BCE，所以AEBE.B级能力提升1已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A有且只有一个 B至多一个C有一个或无数个 D不存在解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在答案：B2在三棱柱ABCA1B1C1中，各
6、棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是_解析：如图所示，取BC的中点E，连接DE，AE，则AE平面BB1C1C.所以AEDE，因此AD与平面BB1C1C所成角即为ADE，设ABa，则AEa，DE，有tanADE，所以ADE60.答案：603如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC90，ABACAA1.(1)求证：AB1平面A1BC1.(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，所以AB1BA1.由AA1平面A1B1C1得AA1A1C1.又因为A1C1A1B1，AA1A1B1A1，所以A1C1平面AA1B1B.又因为AB1平面AA1B1B，所以A1C1AB1.又因为BA1A1C1A1，所以AB1平面A1BC1.(2)解：连接A1D.设ABACAA11，因为AA1平面A1B1C1，所以A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点，所以A1DB1C1.在RtA1DA中，AD.所以sin A1DA，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.