1、【课时训练】抛物线一、选择题1(2018黑龙江第八中学月考)已知抛物线C：y 的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|2y0，则x0()A2B2 C4D4【答案】D【解析】由y得x28y，抛物线C的准线方程为y2，焦点为F(0,2)由抛物线的性质及题意，得|AF|2y0y02.解得y02，x04.故选D.2(2018甘肃张掖一诊)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于()A9B8 C7D6【答案】B【解析】抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得|PQ|PF|QF|x11x21x1x228
2、.3(2018西安质检)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A(1,0)B(1,0)C(0，1)D(0,1)【答案】B【解析】抛物线y22px(p0)的准线为x且过点(1,1)，故1，解得p2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)4(2018云南昆明一中期末)已知点F是抛物线C：y24x的焦点，点A在抛物线C上，若|AF|4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为()A4B3 C2D1【答案】B【解析】由题意易知F(1,0)，点F到准线的距离为2，点A到准线的距离为|AF|4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为3.5(2018昆明调研)已知抛物线C
3、的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果12，那么抛物线C的方程为()Ax28yBx24yCy28xDy24x【答案】C【解析】由题意，设抛物线方程为y22px(p0)，直线方程为xmy，联立消去x，得y22pmyp20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y2p2，得x1x2y1y2y1y2m2y1y2(y1y2)y1y2p212p4，即抛物线C的方程为y28x.6(2018九江一模)已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1Bx1
4、Cx2Dx2【答案】B【解析】y22px(p0)的焦点坐标为，过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy.将其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22p，p2.抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.7(2018上饶四校联考)设抛物线C：y23px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x【答案】C【解析】抛物线C：y23px(p0)的焦点为F，|OF|，以MF为直径的圆过点(0,2)，设A
5、(0,2)，连接AF，AM，可得AFAM，在RtAOF中，|AF|，sinOAF.根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于点A，OAFAMF，可得在RtAMF中，sinAMF.|MF|5，|AF|，.整理，得4，解得p或p，C的方程为y24x或y216x.8(2018赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的M的坐标为()A(0,0) B. C(1，)D(2,2)【答案】D【解析】本题考查抛物线的定义，过M点作左准线的垂线(图略)，垂足是点N，则|MF|MA|MN|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|MA|取得最
6、小值，此时M(2,2)二、填空题9(2018江苏南京月考)已知点F为抛物线y24x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为_【答案】【解析】由抛物线定义及题意，得xA15，解得xA4.又因为点A位于第一象限，所以yA4，所以kAF.10(2018合肥调研)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为_【答案】2【解析】抛物线y22px(p0)的准线为x，圆x2y26x70，即(x3)2y216，则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，所以34，解得p2.11(2018山西四校三联)过
7、抛物线y24x的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为_【答案】8【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是yx1.联立消去y，得x26x10，所以x1x26.所以|AB|x1x2p628.三、解答题12(2018沈阳模拟)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)上相异两点，P，Q到y轴的距离的积为4，且0.(1)求该抛物线的标准方程；(2)过点Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴的交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值【解】(1)
8、设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，0，则x1x2y1y20.又点P，Q在抛物线上，y2px1，y2px2，代入，得y1y20，y1y24p2，|x1x2|4p2.又|x1x2|4，4p24，p1，抛物线的标准方程为y22x.(2)设直线PQ过点E(a,0)且方程为xmya，联立方程组消去x，得y22my2a0，设直线PR与x轴交于点M(b,0)，则可设直线PR的方程为xnyb，并设R(x3，y3)，同理可知由可得.由题意，得Q为线段RT的中点，y32y2.b2a.又由(1)，知y1y24，代入，可得2a4，a2.b4，y1y38.|PR|y1y3|24.当n0，即直线PR垂直于x轴时，|PR|取最小值4.