1、正弦定理、余弦定理的综合应用建议用时：45分钟一、选择题1一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30角前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75角，则河的宽度为()A50(1)mB100(1)mC50 m D100 mA如图所示，在ABC中，BAC30，ACB753045，AB200 m，由正弦定理，得BC100(m)，所以河的宽度为BCsin 7510050(1)(m)2已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2Acos 2B2cos 2C，则cos C的最小值为()A.B. C.DC因为cos 2Acos 2B2cos
2、2C，所以12sin2A12sin2B24sin2C，得a2b22c2，cos C，当且仅当ab时等号成立，故选C.3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(abc)(abc)3ab，且c4，则ABC面积的最大值为()A8 B4C2 D.B由已知等式得a2b2c2ab，则cos C.由C(0，)，所以sin C.又16c2a2b2ab2ababab，则ab16，所以SABCabsin C164.故Smax4.故选B.4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B2ab，若ABC的面积为Sc，则ab的最小值为()A8 B10C12 D14C在ABC中，由已知
3、及正弦定理可得2sin Ccos B2sin Asin B2sin(BC)sin B，即2sin Ccos B2sin Bcos C2sin Ccos Bsin B，所以2sin Bcos Csin B0.因为sin B0，所以cos C，C.由于ABC的面积为Sabsin Cabc，所以cab.由余弦定理可得c2a2b22abcos C，整理可得a2b2a2b2ab3ab，当且仅当ab时，取等号，所以ab12.5在ABC中，sin B，BC边上的高为AD，D为垂足，且BD2CD，则cosBAC()A B.C D.A依题意设CDx，ADy，则BD2x，BC3x.因为sin B，所以AB3y.因
4、为BC边上的高为AD，如图所示，所以AB2AD2BD2y24x29y2，即xy.所以ACy.根据余弦定理得cosBAC.故选A.二、填空题6一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时 海里10如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/时)7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin Bbcos A若a4，则ABC周长的最大值为 12由正弦定理，可将asin
5、 Bbcos A转化为sin Asin Bsin Bcos A.又在ABC中，sin B0，sin Acos A，即tan A.0A，A.由于a4，由余弦定理得a2b2c22bccos A，得16b2c22bcb2c2bc(bc)23bc，又bc2，(bc)264，即bc8，abc12.8.如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sin C的值为 设ABa，ABAD,2ABBD，BC2BD，ADa，BD，BC.在ABD中，cosADB，sinADB，sinBDC.在BDC中，sin C.三、解答题9. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA2，B
6、为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？ 解设AOB，在AOB中，由余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcosAOB1222212cos 54cos ，于是，四边形OACB的面积为SSAOB SABCOAOBsin AB221sin (54cos )sin cos 2sin.因为0，所以当，即AOB时，四边形OACB面积最大10(2019绵阳模拟)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2csin B3atan A.(1)求的值；(2)若a2，求ABC面积的最大值解(1)2csin B3atan A，2csin Bcos A
7、3asin A，由正弦定理得2cbcos A3a2，由余弦定理得2cb3a2，化简得b2c24a2，4.(2)a2，由(1)知b2c24a216，由余弦定理得cos A，根据基本不等式得b2c22bc，即bc8，当且仅当bc时，等号成立，cos A.由cos A，得bc，且A，ABC的面积Sbcsin Asin A3tan A.1tan2A1，tan A.S3tan A.ABC面积的最大值为.1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin B2sin Acos C0，则当cos B取最小值时，()A. B.C2 D.B由sin B2sin Acos C0，根据正弦定理和余弦定理得
8、b2a0，a22b2c20，b2，cos B，当且仅当，即时取等号，cos B取最小值.故选B.2.(2019吉林长春质量监测(四)海岛算经是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从
9、后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为(注：1步6尺，1里180丈1 800尺300步)()A1 255步 B1 250步C1 230步 D1 200步A因为AHBC，所以BCFHAF，所以.因为AHDE，所以DEGHAG，所以.又BCDE，所以，即，所以HB30 750步，又，所以AH1 255(步)故选A.3.如图所示，在ABC中，C，BC4，点D在边AC上，ADDB，DEAB，E为垂足，若DE2，则cos A .ADDB，AABD，BDC2A.设ADDBx，在BCD中，可得.在AED中，可得.联立可得，解得cos A.4(2019宁
10、德模拟)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且2cb2acos B，a.(1)若c，求ABC的面积；(2)若ABC为锐角三角形，求bc的取值范围解(1)2cb2acos B，由正弦定理得2sin C sin B2sin Acos B，2sin(AB)sin B2sin Acos B，2cos Asin Bsin B.B(0，)，sin B0，cos A.又A(0，)，A.由余弦定理得7b232b，即b23b40，(b4)(b1)0，b4或b1(舍去)，SABCbcsin A4.(2)由(1)知A.由正弦定理得，2，bc222sin.ABC是锐角三角形，B，B，sin，bc(，)
11、1.(2019福建宁德5月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则图中海洋蓝洞的口径为 80由已知得，在ACD中，ACD15，ADC150，所以DAC15，由正弦定理得AC40()在BCD中，BDC15，BCD135，所以DBC30，由正弦定理，得BC160sin 1540()在ABC中，由余弦定理，得AB21 600(84)1 600(84)21 600()()1 600161 60
12、041 6002032 000，解得AB80.故图中海洋蓝洞的口径为80.2某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2) 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解(1) 设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S.故当t时，Smin10海里，此时v30海里/时即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2) 设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900. 0v30， 900900，即0，解得t.又t时，v30海里/时故v30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于. 此时，在OAB中，有OAOBAB20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.
