1、【课时训练】第66节数学归纳法一、选择题1(2018德州模拟)用数学归纳法证明“12222n22n31”，在验证n1时，左边计算所得的式子为()A1B12C1222D122223【答案】D【解析】当n1时，左边122223.2(2018常德一模)数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A3n2Bn2C3n1D4n3【答案】B【解析】计算出a11，a24，a39，a416.可猜想ann2.3(2018沈阳调研)用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，利用归纳法假设证明nk1时，只需展开()A(k3)3B(k2
2、)3C(k1)3D(k1)3(k2)3【答案】A【解析】假设nk时，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k3)3展开，让其出现k3即可4(2018太原质检)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()An1B2nC.Dn2n1【答案】C【解析】1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域5(2018山东菏泽模拟)对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如
3、下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时，不等式成立即k1，则当nk1时，(k1)1，所以当nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确【答案】D【解析】在nk1时，没用nk时的假设，不是数学归纳法从nk到nk1的推理不正确二、填空题6(2018合肥检测)已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n_时等式成立【答案】k2【解析】nk(k2，且k为偶数)的下一个偶数为k2，根据数学归纳法的步骤可知，应填k2.7(2018淮北三校联考)设
4、数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：2anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn_.【答案】【解析】由(S11)2S得：S1；由(S21)2(S2S1)S2得：S2；由(S31)2(S3S2)S3得：S3.猜想Sn.8(2018三亚模拟)用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上的项为_【答案】(k21)(k22)(k1)2【解析】当nk时，左端为123k(k1)(k2)k2，则当nk1时，左端为123k2(k21)(k22)(k1)2，故增加(k21)(k22)(k1)2.三、解答题9(2018秦皇岛模拟)设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan
5、0有一根为Sn1(nN*)(1)求a1，a2的值；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出证明(1)【解】当n1时，方程x2a1xa10有一根为S11a11，(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，方程x2a2xa20有一根为S21a1a21a2，2a2a20，解得a2.(2)【证明】由题意知(Sn1)2an(Sn1)an0，当n2时，anSnSn1，代入上式整理得SnSn12Sn10，解得Sn.由(1)得S1a1，S2a1a2.猜想Sn(nN*)下面用数学归纳法证明这个结论当n1时，结论成立假设nk(kN*，k1)时结论成立，即Sk，当nk1时，Sk1.即当nk1时结论成立由知Sn
6、对任意的正整数n都成立10(2018长春三校联考)已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明(1)【解析】当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)【证明】由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当n1,2,3时，不等式显然成立假设当nk(k3，kN*)时不等式成立即1，那么，当nk1时，f(k1)f(k)，因为0，所以f(k1)g(k1)由可知，对一切nN*
7、，都有f(n)g(n)成立11(2018江苏南通模拟)数列xn满足x10，xn1xxnc(nN*)(1)证明：xn是递减数列的充分必要条件是c0；(2)若0c，证明数列xn是递增数列【证明】(1)充分性：若c0，由于xn1xxncxncxn，数列xn是递减数列必要性：若xn是递减数列，则x2x1，且x10.又x2xx1cc，c0.故xn是递减数列的充分必要条件是c0.(2)若0c，要证xn是递增数列即xn1xnxc0，即证xn对任意n1成立下面用数学归纳法证明：当0c时，xn对任意n1成立当n1时，x10，结论成立假设当nk(k1，kN*)时结论成立，即xk.因为函数f(x)x2xc在区间内单调递增，所以xk1f(xk)f()，当nk1时，xk1成立由知，xn对任意n1，nN*成立因此，xn1xnxcxn，即xn是递增数列
